Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，AB=4，BC=6（如圖），點P為射線DC上的動點（不與D和C重合），AP交BD于點E，連BP．
（1）求tanC的值；
（2）當點P在線段DC上時，如果△ADE與△BPC相似，求DP的長；
（3）設(shè)DP=x，試用x的代數(shù)式表示的值，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DH⊥BC，則可得ABHD為矩形，從而結(jié)合題意得出DH、CH的長度，在RT△DHC中可得出tanC的值；
（2）先判斷出，∠ADB=∠C，根據(jù)△ADE與△BPC相似得出=或=，設(shè)DP=x，則PC=5-x，然后可得出方程，解出即可得出答案；
（3）分兩種情況進行討論，①當點P在線段CD上時，②當點P在DC的延長線上時，分別過點P作MN⊥AD分別交直線BC和直線AD于M和N，表示出的值即可．
解答：解：（1）過D作DH⊥BC，
則可得ABHD為矩形，DH=AB=4，BH=AD=3，
從而可得CH=BC-BH=3，
又∵DH⊥BC，
∴tanC==；

（2）∵AD=3，AB=4，AD∥BC，AB⊥BC，
∴BD=5，而DH=4，HC=3，DH⊥BC，
∴DC=5，DC=BD，∠DBC=∠C，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠C，
∵△ADE與△BPC相似，∠ADB=∠C，
∴=或=，
延長AP交BC的延長線于點M，
設(shè)DP=x，則PC=5-x，
∵AD∥BC，
∴=，即=，
∴CM=，
又∵AD∥BC，
∴=，即=，
∴DE=，
∴=或=，
即5x²+11x+90=0或2x²+5x-25=0，
而5x²+11x+90=0無解；
故可得2x²+5x-25=0，
解得：x₁=，x₂=-5（舍去），
即可得DP=；

（3）分兩種情況：
①當點P在線段CD上時，過P作MN⊥AD分別交直線BC和直線AD于M和N，
則==•=×=（0＜x＜5），

②當點P在DC的延長線上時，過P作MN⊥AD分別交直線BC和直線AD于M和N，
則==•=×=（x＞5）．
點評：此題屬于相似性的綜合題，涉及了矩形的性質(zhì)、直角梯形、勾股定理，三角形的面積，難點在第二問，需要分類討論，點P在CD上及點P在CD的延長線上，要求我們熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大．