Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=4，取CD中點O，以O為圓心OD為半徑作圓交AD于E，交BC的延長線交于點F，
（1）若cos∠AEB= ，則菱形ABCD的面積為；
（2）當BE與⊙O相切時，AE的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）8
（2）6﹣2
【解析】解：（1.）作BG⊥AD于G，連接CE，
∵四邊形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=CD=4，AD∥BC，∵CD是直徑，∴∠CED=90°，∴CE⊥AD，∴BG∥CE，∴四邊形BCEG是矩形，∴GE=BC=4，∵cos∠AEB= ，∴ = ，∴BE= ×4=6，∴BG= = =2 ，∴菱形ABCD的面積=ADBG=4×2 =8 ；
所以答案是8 ；
（2.）連接OE，∵BE與⊙O相切，∴FE⊥BE，∴∠BEG=∠CEO，∵OE=OC，∴∠DCE=∠CEO，∴∠ECD=∠GEB，∴ = ，∵GE=AD，∴AG=ED，設BG=CE=a，∴ = ，∴16﹣a2=4AE，∴AG2=4AE，即（4﹣AE）2=4AE，∴AE2﹣12AE+16=0，解得AE=6﹣2 或AE=6+2 （不合題意，舍去），所以答案是6﹣2 ．

【考點精析】利用菱形的性質和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．