Question

（2012•黃埔區(qū)一模）已知拋物線L：y=x²-（k-2）x+（k+1）²
（1）證明：不論k取何值，拋物線L的頂點(diǎn)C總在拋物線y=3x²+12x+9上；
（2）已知-4＜k＜0時(shí)，拋物線L和x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，求A、B間距取得最大值時(shí)k的值；
（3）在（2）A、B間距取得最大值條件下（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），直線y=ax+b是經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線L相交于點(diǎn)D的直線．問是否存在點(diǎn)D，使△ABD為等邊三角形？如果存在，請(qǐng)寫出此時(shí)直線AD的解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式中，根據(jù)左右兩邊相等即可作出證明．
（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＞x₂，利用求根公式得出兩根的表達(dá)式，繼而表示出AB的長(zhǎng)，然后可計(jì)算出最大值．
（3）若△ABD為等邊三角形，那么點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上，即只有拋物線的頂點(diǎn)才有可能符合D點(diǎn)的條件．首先，根據(jù)（2）的結(jié)果求出A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這三點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)判斷一下△ABD是否符合等邊三角形的特征，若符合，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AD的解析式．

解答：解：（1）拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)C是（

k-2

2

，

3k2+12k

4

），
將頂點(diǎn)坐標(biāo)C代入y=3x²+12x+9，
左邊=

3k2+12k

4

，右邊=3（

k-2

2

）²+12（

k-2

2

）+9=

3k2+12k

4

，
故可得：左邊=右邊，
所以無論k取何值，拋物線L的頂點(diǎn)C總在拋物線y=3x²+12x+9上；

（2）已知-4＜k＜0時(shí)，拋物線L和x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＞x₂，
依題意x_1，2=

(k-2)± (k-2)2-4(k+1)2

2

，
|AB|=|x₁-x₂|=|

(k-2)+ (k-2)2-4(k+1)2

2

-

(k-2)- (k-2)2-4(k+1)2

2

|
=

(k-2)2-4(k+1)2

=

-3k2-12k

=

-3(k+2)2+12

，
由此可知，當(dāng)k=-2時(shí)，AB達(dá)到最大值

12

即2

3

，
而k=-2恰好在-4＜k＜0內(nèi)，
所以A、B間距取得最大值時(shí)k的值為-2．

（3）存在．
因?yàn)槿簟鰽BD是等邊三角形，則點(diǎn)D應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對(duì)稱軸上，
又∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴若滿足條件的D存在，點(diǎn)D應(yīng)是此拋物線的頂點(diǎn)，
當(dāng)k=-2時(shí)，拋物線L：y=x²+4x+1，頂點(diǎn)D（-2，-3），
解方程x²+4x+1=0，得x₁=-2+

3

，x₂=-2-

3

，
所以A（-2+

3

，0），B（-2-

3

，0），
如圖，在△ABD中，DB=DA，
E為AB中點(diǎn)，AB=|（-2+

3

）-（-2-

3

）|=2

3

，
∴AE=

3

，tan∠BAD=

3

3

=

3

，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
因?yàn)橹本�y=ax+b經(jīng)過點(diǎn)A（-2+

3

，0）、D（-2，-3），
所以依題意把k=2代入

a(-2+ 3 )+b=0 -2a+b=-3

，
解得：

a= 3 b=-3+2 3

，
所以所求為y=

3

x-3+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)綜合題，其中的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、根與系數(shù)的關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系以及拋物線的對(duì)稱性是解答此題的關(guān)鍵．