Question

如圖所示△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；②△EPF為等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=

1

2

S△ABC；④EF=AP；
當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），上述結(jié)論始終正確的有

 

（填序號）．

Answer 1

分析：利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE與△CPF中，

∠PAE=∠PCF AP=CP ∠EPA=∠FPC

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC，①②③正確；
而AP=

1

2

BC，EF因不是中位線，則不等于BC的一半，故④不成立．
故始終正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，綜合利用了全等三角形的判定．