Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB為直徑，過點(diǎn)A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是半圓的切線．
（2）設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F，求證：FD=FG．
（3）在（2）的條件下，若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°．
即MA⊥AB．
∴MN是半圓的切線．

（2）證明：
證法1：∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠DBC=∠2．
∵AB是直徑，
∴∠CBG+∠CGB=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠2=90°．
∵∠DBC=∠2，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD．
∴FD=FG．
證法2：連接AD，則∠1=∠2，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠1+∠DGF=90°．
又∵DE⊥AB，
∴∠2+∠FDG=90°．
∴∠FDG=∠FGD．
∴FD=FG．

（3）解：解法1：過點(diǎn)F作FH⊥DG于H，
又∵DF=FG，
∴S_△FGH=S_△DFG=×4.5=．
∵AB是直徑，F(xiàn)H⊥DG，
∴∠C=∠FHG=90°．
∵∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC．
∴．
∴S_△BCG==16．

解法2：∵∠ADB=90°，DE⊥AB，
∴∠3=∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴AF=DF=FG．
∴S_△ADG=9．
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．
∴．
∴S_△BCG=．

解法3：連接AD，過點(diǎn)F作FH⊥DG于H．
∵S_FDG=DG×FH=×3FH=4.5，
∴FH=3．
∵H是DG的中點(diǎn)，F(xiàn)H∥AD，
∴AD=2FH=6
∴S_△ADG=．
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．
∵DG=3，GC=4，
∴=（）²，
∴=（）²，
∴S_△BCG=16．
分析：（1）要證MN是⊙O的切線，只需證明MA⊥AB即可，易得∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB；故可得證．
（2）連接AD，則∠1=∠2，進(jìn)而可得∠1+∠DGF=90°，故∠FDG=∠FGD，即FD=FG．
（3）求△BCG的面積，只需證得△FGH∽△BGC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得△BCG的面積．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．