Question

（2012•道外區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊上，連接BE，將正方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕GH交BC邊于點(diǎn)G，交AD邊于點(diǎn)H，若tan∠EBC=

1

3

，AD+DE=15，則線段AH的長(zhǎng)為

2

．

Answer 1

分析：由tan∠EBC=

1

3

，可得BC=3CE，又由四邊形ABCD是正方形與AD+DE=15，即可求得CE，DE，BC的長(zhǎng)，然后由勾股定理與折疊的性質(zhì)，求得CG與GE的長(zhǎng)，又由同角的余角相等與對(duì)頂角相等，求得∠A′FH=∠DFE=∠CEG，然后由三角函數(shù)，求得EF，A′F的長(zhǎng)，繼而可求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=∠D=∠A=90°，BC=CD=AD，
∵在Rt△BCE中，tan∠EBC=

1

3

，
即

CE

BC

=

1

3

，
∴BC=3CE
∴DE=CD-CE=BC-CE=2CE，
∵AD+DE=15，
∴5CE=15，
∴CE=3，
即BC=AD=CD=9，DE=6，
由折疊的性質(zhì)可得：A′H=AH，∠A′=∠A=90°，BG=GE，A′E=AB，
設(shè)CG=x，則GE=BG=BC-CG=9-x，
在Rt△CEG中，GE²=CG²+CE²，
即（9-x）²=x²+9，
解得：x=4，
∴CG=4，GE=5，
∵∠FEG=∠ABG=90°，
∴∠DFE+∠DEF=∠DEF+∠CEG=90°，
∴∠A′FH=∠DFE=∠CEG，
∴EF=

DE

sin∠DFE

=

DE

sin∠CEG

=

6

4 5

=

15

2

，
∴A′F=A′E-EF=9-

15

2

=

3

2

，
∴A′H=A′F•tan∠A′FH=A′F•tan∠CEG=

3

2

×

4

3

=2，
∴AH=A′H=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．