如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi),且|AB|=3,sin∠OAB=
(1)若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)在(1)中,拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P,使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若將點(diǎn)O、點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q(-2k,0)、點(diǎn)R(5k,0)(k>1的常數(shù)),設(shè)過(guò)Q、R兩點(diǎn),且以QR的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為N,其頂點(diǎn)為M,記△QNM的面積為S△QMN,△QNR的面積S△QNR,求S△QMN:S△QNR的值.

【答案】分析:(1)欲求過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式,需要先求出C點(diǎn)的坐標(biāo),過(guò)B作BD⊥x軸于D,在Rt△ABD中,通過(guò)解直角三角形,可求得B點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征,得到點(diǎn)C的坐標(biāo),從而利用待定系數(shù)法來(lái)求得該拋物線(xiàn)的解析式.
(2)若以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形,則此四邊形中,必有一組對(duì)邊平行,且不相等;可分別過(guò)O、C、A作AC、OA、OC的平行線(xiàn),那么所求的P點(diǎn),必在這些平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)中,然后再分別判定所得四邊形的平行邊是否相等即可,若相等,則所得四邊形為平行四邊形,不符合題意,若不相等,則所求四邊形為梯形,那么所作平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn).
(3)此題可首先表示出拋物線(xiàn)的解析式,然后分兩種情況:①拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,②拋物線(xiàn)開(kāi)口向下;解法一致,首先得到M、N、Q、R的坐標(biāo),△QNR的面積可直接求出,而△QMN的面積可通過(guò)作x軸的垂線(xiàn),利用割補(bǔ)法來(lái)求得;進(jìn)而可得到它們的面積比.
解答:解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D.在Rt△ABD中,
∵|AB|=,sin∠OAB=
∴|BD|=|AB|•sin∠OAB=×=3.
又由勾股定理,得=
∴|OD|=|OA|-|AD|=10-6=4.
∵點(diǎn)B在第一象限,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3). …3分
設(shè)經(jīng)過(guò)O(0,0)、C(4,-3)、A(10,0)三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx(a≠0).

∴經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.…2分

(2)假設(shè)在(1)中的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P,使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形
①∵點(diǎn)C(4,-3)不是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),
∴過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)OA的平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P1.則直線(xiàn)CP1的函數(shù)表達(dá)式為y=-3.
對(duì)于,
令y=-3則得x=4或x=6.

而點(diǎn)C(4,-3),
∴P1(6,-3).
在四邊形P1AOC中,CP1∥OA,顯然|CP1|≠|(zhì)OA|.
∴點(diǎn)P1(6,-3)是符合要求的點(diǎn). …1分
②若AP2∥CO.
設(shè)直線(xiàn)CO的函數(shù)表達(dá)式為y=k1x.
將點(diǎn)C(4,-3)代入,
得4k1=-3

∴直線(xiàn)CO的函數(shù)表達(dá)式為
于是可設(shè)直線(xiàn)AP2的函數(shù)表達(dá)式為
將點(diǎn)A(10,0)代入,得
∴直線(xiàn)AP2的函數(shù)表達(dá)式為
,
即(x-10)(x+6)=0.
而點(diǎn)A(10,0),
∴P2(-6,12).
過(guò)點(diǎn)P2作P2E⊥x軸于點(diǎn)E,則|P2E|=12.
在Rt△AP2E中,由勾股定理,得
而|CO|=|OB|=5.
∴在四邊形P2OCA中,AP2∥CO,但|AP2|≠|(zhì)CO|.
∴點(diǎn)P2(-6,12)是符合要求的點(diǎn). …1分
③若OP3∥CA,設(shè)直線(xiàn)CA的函數(shù)表達(dá)式為y=k2x+b2將點(diǎn)A(10,0)、C(4,-3)代入,

∴直線(xiàn)CA的函數(shù)表達(dá)式為
∴直線(xiàn)OP3的函數(shù)表達(dá)式為,由,
即x(x-14)=0.

而點(diǎn)O(0,0),
∴P3(14,7).過(guò)點(diǎn)P3作P3E⊥x軸于點(diǎn)E,則|P3E|=7.
在Rt△OP3E中,由勾股定理,得.而|CA|=|AB|=
∴在四邊形P3OCA中,OP3∥CA,但|OP3|≠|(zhì)CA|.
∴點(diǎn)P3(14,7)是符合要求的點(diǎn). …1分
綜上可知,在(1)中的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),
使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形. …1分

(3)由題知,拋物線(xiàn)的開(kāi)口可能向上,也可能向下.
①當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上時(shí),則此拋物線(xiàn)與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
可設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+2k)(x-5k)(a>0).
即y=ax2-3akx-10ak2=
如圖,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G.
∵Q(-2k,0)、R(5k,0)、G(、N(0,-10ak2)、M
∴|QO|=2k,|QR|=7k,|OG|=,|QG|=
•|QR|•|ON|
=×7k×10ak2=35ak3
S△QMN=•|QO|•|ON|+(|ON|+|GM|)•|OG|-•|QG|•|GM|=
=
.…2分
②當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下時(shí),則此拋物線(xiàn)與y軸的正半軸交于點(diǎn)N,同理,可得S△QNM:S△QNR=3:20.…1分
綜上所知,S△QNM:S△QNR的值為3:20. …1分
點(diǎn)評(píng):此題考查了拋物線(xiàn)解析式的確定、梯形的判定、三角形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn),(2)(3)小題中,都用到了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面,做到不重不漏.
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(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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5
29
5
29

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5

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k
x
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k
x
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