Question

已知點P為正方形ABCD所在平面上的一點，且AP=AD，連接AP、BP、DP，則∠BPD的度數(shù)等于________．

Answer 1

45°或135°
分析：①P在正方形ABCD內(nèi)時，求出AB=AP=AD，∠BAD=90°，推出∠ABP=∠APB，∠APD=∠ADP，求出2∠APB+2∠APD=180°-∠BAP+180°-∠DAP=270°，即可求出∠BPD即可；
②P在正方形ABCD外時，∠PAD為銳角時，求出AB=AD，∠BAD=90°，AP=AD，推出∠ABP=∠APB，∠ADP=∠APD，推出∠BAD=2∠BPD，求出∠BPD即可；當(dāng)∠P′AD為鈍角時，求出∠AP′D=∠ADP′，∠AP′B=∠ABP′，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出2（∠AP′D+∠AP′B）+45°+45°=180°，即可求出∠BP′D．
解答：有兩種情況：
①P在正方形ABCD內(nèi)時，如圖：
∵正方形ABCD，AP=AD，
∴AB=AP=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABP=∠APB，∠APD=∠ADP，
∵∠BAP+∠ABP+∠APB=180°，∠ADP+∠APD+∠DAP=180°，
∴2∠APB+2∠APD=180°-∠BAP+180°-∠DAP=180°+180°-90°=270°，
∴∠BPD=135°；
②P在正方形ABCD外時，如圖：
有2點，
∠PAD為銳角時，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，AP=AD，
∴∠ABP=∠APB，∠ADP=∠APD，
∴∠PAD=180°-2∠APD=180°-2∠APB-2∠BPD，
∠BAD+∠PAD=∠BAP=180°-2∠APB，
相減得：∠BAD=2∠BPD，
∴∠BPD=45°；
當(dāng)∠P′AD為鈍角時，
∵由正方形ABCD得出∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD=AP，
∴∠AP′D=∠ADP′，∠AP′B=∠ABP′，
∴∠AP′D+∠AP′B+∠ABP′+∠ABD+∠ADB+∠ADP′=180°，
∴2（∠AP′D+∠AP′B）+45°+45°=180°，
∴∠BP′D=45°；
故答案為：45°或135°．
點評：本題考查了正方形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，用了分類討論思想，本題有一定的難度，對學(xué)生提出了較高的要求．