【題目】如圖,點E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線交BC于點F,交△ABC的外接圓⊙O于點D,連接BD,過點D作直線DM,使∠BDM=∠DAC. (Ⅰ)求證:直線DM是⊙O的切線;
(Ⅱ)求證:DE2=DFDA.

【答案】解:(Ⅰ)如圖所示,連接OD, ∵點E是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BAD=∠CAD,
= ,
∴OD⊥BC,
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,
∴∠BDM=∠DBC,
∴BC∥DM,
∴OD⊥DM,
∴直線DM是⊙O的切線;
(Ⅱ)如圖所示,連接BE,
∵點E是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD,∠ABE=∠CBE,
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE,
即∠BED=∠EBD,
∴DB=DE,
∵∠DBF=∠DAB,∠BDF=∠ADB,
∴△DBF∽△DAB,
= ,即DB2=DFDA,
∴DE2=DFDA.


【解析】(Ⅰ)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC,再根據(jù)∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,進而得到OD⊥DM,據(jù)此可得直線DM是⊙O的切線; (Ⅱ)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DFDA,據(jù)此可得DE2=DFDA.
【考點精析】本題主要考查了垂徑定理和圓周角定理的相關(guān)知識點,需要掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題.

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