Question

如圖，D是△ABC中AB邊的中點(diǎn)，△BCE和△ACF都是等邊三角形， M、N分別是CE、CF的中點(diǎn).

1.求證：△DMN是等邊三角形；

2.連接EF，Q是EF中點(diǎn)，CP⊥EF于點(diǎn)P. 求證：DP＝DQ.

同學(xué)們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考：

小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn)，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？她考慮將△NCM繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到要證的對應(yīng)線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.

 

Answer 1

 

1.取AC的中點(diǎn)G，連接NG、DG.

∴DG＝BC，DG∥BC；△NGC是等邊三角形.  

∴NG = NC，DG = CM.

∵∠1 + ∠2 = 180º，

∴∠NGD + ∠2 = 240º.

∵∠2 + ∠3 = 240º，

∴∠NGD =∠3.

∴△NGD≌△NCM .

∴ND = NM ，∠GND =∠CNM. 

∴∠DNM =∠GNC = 60º.

∴△DMN是等邊三角形. 

2.連接QN、PM.

∴QN =CE=PM.

Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4= ∠5.

∵M(jìn)N∥EF，∴∠5=∠6，∠7= ∠8.

∵NQ∥CE，∴∠7=∠4.

∴∠6= ∠8.

∴∠QND= ∠PMD.

∴△QND≌△PMD.

            ∴DQ= DP. 

解析:

1.先證出NG = NC，DG = CM，再證出△NGD≌△NCM，得出△DMN是等邊三角形；

2.根據(jù)題意得出QN =CE=PM，然后證明△QND≌△PMD，從而得出DQ= DP.