(2009•南充)如圖,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,3).
(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(6,m),求m的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式;
(3)第(2)問(wèn)中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D,求過(guò)A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;
(4)在第(3)問(wèn)的條件下,二次函數(shù)在第一象限的圖象上是否存在點(diǎn)E,使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S滿足:S1=S?若存在,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式,用待定系數(shù)發(fā)解答;
(2)因?yàn)锽點(diǎn)為三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn),將B(6,m)代入已知函數(shù)y=,即可求得m的值;根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)平行,可知二者比例系數(shù)相同,再用待定系數(shù)法求出b的值;
(3)A、B坐標(biāo)已求出,D點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)一次函數(shù)解析式求得;
(4)畫(huà)出圖形,根據(jù)已知各點(diǎn)坐標(biāo),求出相應(yīng)線段長(zhǎng).由于四邊形不規(guī)則,故將其面積轉(zhuǎn)化為矩形面積與三角形面積的差或幾個(gè)三角形面積的和.
解答:解:(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=k1x(k1≠0),
因?yàn)閥=k1x的圖象過(guò)點(diǎn)A(3,3),
所以3=3k1,解得k1=1.
這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y=x.
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=(k2≠0),
因?yàn)閥=的圖象過(guò)點(diǎn)A(3,3),
所以3=
解得k2=9.
這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=.(2分)

(2)因?yàn)辄c(diǎn)B(6,m)在y=的圖象上,
所以m==,
則點(diǎn)B(6,).(3分)
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=k3x+b(k3≠0),
因?yàn)閥=k3x+b的圖象是由y=x平移得到的,
所以k3=1,即y=x+b.
又因?yàn)閥=x+b的圖象過(guò)點(diǎn)B(6,),
所以=6+b,
解得b=-,
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-

(3)因?yàn)閥=x-的圖象交y軸于點(diǎn)D,
所以D的坐標(biāo)為(0,-).
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).
因?yàn)閥=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A(3,3)、B(6,)、和D(0,-),
所以,
解得
這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-x2+4x-.(6分)

(4)∵交x軸于點(diǎn)C,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(,0),
如圖所示,連接OE,CE,過(guò)點(diǎn)A作AF∥x軸,交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作BH∥y軸,交AF于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)D作DG∥x軸,交直線BH于點(diǎn)G,則S=×6-×6×6-××3-×3×3=45-18--=
假設(shè)存在點(diǎn)E(x,y),使S1=S=
∵四邊形CDOE的頂點(diǎn)E只能在x軸上方,
∴y>0,
∴S1=S△OCD+S△OCE==
,
.(7分)
∵E(x,y)在二次函數(shù)的圖象上,

解得x=2或x=6.
當(dāng)x=6時(shí),點(diǎn)E(6,)與點(diǎn)B重合,這時(shí)CDOE不是四邊形,故x=6舍去,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,).(8分)
點(diǎn)評(píng):此題將初中所學(xué)三個(gè)主要函數(shù):一次函數(shù)(含正比例函數(shù))、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來(lái),考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系及不規(guī)則圖形面積的求法,綜合性較強(qiáng),難度適中.
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