Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（-4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向90°得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，試說明；

（3）在（2）的條件下，請?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值．

解：

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式：，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-4，4），

∴4=a•4²，解得a=，

所以拋物線的解析式為：；

過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，如圖，

∵點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向90°得到點(diǎn)C，

∴Rt△BAE≌Rt△ACD，

∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，

∴OD=AD+OA=5，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，如圖，

∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴，

∴，

∵AF=OF-OA=PH-OA=，PF=a，

在Rt△PAF中，PA=，

∴；

（3）由（1）得AC=5，

∴△PAC的周長=PC+PA+5

=PC+PH+6，

要使PC+PH最小，則C、P、H三點(diǎn)共線，

∴此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，把x=3代入，得到，

即P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），此時(shí)PC+PH=5，

∴△PAC的周長的最小值=5+6=11．