Question

（2009•蘭州）如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（長度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度；
（2）求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（1）中當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，觀察圖象可得x與t的關(guān)系，進(jìn)而可得答案；
（2）過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，易得BF=8，OF=BE=4，進(jìn)而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；進(jìn)一步易得△ABF≌△BCH，再根據(jù)BH與OG的關(guān)系，可得C的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，易得△APM∽△ABF；進(jìn)而可得對應(yīng)邊的比例關(guān)系，解可得AM、PM與t的關(guān)系，由三角形面積公式，可得答案．
（4）此題需要分類討論：當(dāng)P在BC上時(shí)，求得t的值；當(dāng)P在CD上時(shí)，求得t的值；即當(dāng)t=時(shí)；當(dāng)P在BA上時(shí)，求得t的值．
解答：解：（1）Q（1，0）（1分）Q的圖象是一條直線，且過點(diǎn)（11，0）．
且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度每秒鐘1個(gè)單位長度．（2分）

（2）過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB==10，（3分）
過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長線交于點(diǎn)H．
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6 CH=BF=8．
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，12）．（4分）

（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，
則△APM∽△ABF．
∴，
∴．
∴AM=t，PM=t，
∴PN=OM=10-t，ON=PM=t．
設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位），
∴S=×（10-t）（1+t）=5+t-t²（0≤t≤10），（5分）
說明：未注明自變量的取值范圍不扣分．
∵a=-，
∴當(dāng)t=-=時(shí)，△OPQ的面積最大．（6分）
此時(shí)P的坐標(biāo)為（，）．（7分）

（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一半時(shí)，
當(dāng)P在BC上時(shí)，8+（t-10）=（t+1），解得：t=-15（舍去）
當(dāng)P在CD上時(shí)，14-（t-20）=（t+1），解得：t=，
即當(dāng)t=時(shí)，OP與PQ相等．
當(dāng)P在BA上時(shí)，t=，OP與PQ相等，（9分）
∴當(dāng)t=或t=時(shí)，OP與PQ相等．
點(diǎn)評：本題是一道動(dòng)態(tài)解析幾何題，對學(xué)生的運(yùn)動(dòng)分析，數(shù)形結(jié)合的思想作了重點(diǎn)的考查，有一定的難度．