Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A(－5，0)和點B(1，0)．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)點P是拋物線上A，D之間的一點，過點P作PE⊥x軸于點E，PG⊥y軸，交拋物線于點G．過點G作GF⊥x軸于點F．當矩形PEFG的周長最大時，求點P的橫坐標；

(3)如圖2，連接AD，BD，點M在線段AB上(不與A，B重合)，作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點N，是否存在這樣的點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－x＋；D(－2，4)；（2）點P的橫坐標為－；（3）存在，AN的長為1或．

【解析】

(1) 根據拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A(－5，0)和點B(1，0)，用待定系數法即可得到答案；

(2)假設P的坐標為(m，－m2－m＋)，則可得到PE＝－m2－m＋，PG＝2(－2－m)＝－4－2m，再結合矩形周長，即可算出答案；

(3) 分三種情況MN=DM、NM=DN、DN=DM，分別討論即可得到答案．

解：(1)拋物線的解析式為：y＝－ (x＋5)(x－1) ＝－x2－x＋．

配方得：y＝－(x＋2)2＋4 ，

∴頂點D的坐標為(－2，4)．

(2)設點P的坐標為(m，－m2－m＋)，

則PE＝－m2－m＋，PG＝2(－2－m)＝－4－2m．

∴矩形PEFG的周長＝2(PE＋PG)＝2(－m2－m＋－4－2m)

＝－(m＋)2＋,

∵－＜0，

∴當m＝－時，矩形PEFG的周長最大，此時，點P的橫坐標為－．

(3)存在．∵AD＝BD，

∴∠DAB＝∠DBA．

∵∠AMN＋∠DMN＝∠MDB＋∠DBA，

又∵∠DMN＝∠DBA，

∴∠AMN＝∠MDB，

∴△AMN∽△BDM，

∴＝＝,

易求得：AB＝6，AD＝DB＝5．

△DMN為等腰三角形有三種可能：

①當MN＝DM時，則△AMN≌△BDM，

∴AM＝BD＝5，

∴AN＝MB＝1；

②當DN＝MN時，則∠ADM＝∠DMN＝∠DBA，

又∵∠DAM＝∠BAD，

∴△DAM∽△BAD，

∴＝，

∴AD2＝AM·BA．

∴AM＝，BM＝6－＝，

∵＝，

∴AN＝＝××＝．

③DN＝DM不成立．

∵∠DNM＞∠DAB， 而∠DAB＝∠DMN，

∴∠DNM＞∠DMN，

∴DN≠DM．

綜上所述，存在點M滿足要求，此時AN的長為1或．