Question

如圖，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=．以O為坐標原點，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標系，設D、E分別是線段AC、OC上的動點，它們同時出發(fā)，點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動，點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動．設運動時間為t（秒）
（1）求直線AC的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示點D的坐標；
（3）在t為何值時，△ODE為直角三角形？
（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？并請選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△AOC中，已知AO的長以及∠ACB的正弦值，能求出OC的長，即可確定點C的坐標，利用待定系數(shù)法能求出直線AC的解析式．
（2）過D作AO、OC的垂線，通過構建相似三角形來求出點D的坐標．
（3）用t表示出OD、DE、OE的長，若△ODE為直角三角形，那么三邊符合勾股定理，據(jù)此列方程求出對應的t的值．
（4）根據(jù)（3）的結論能得到t的值，△ODE中，當OD⊥x軸或DE垂直x軸時，都不能確定“一條對稱軸平行于y軸的拋物線”，余下的情況都是符合要求的，首先得D、E的坐標，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，則A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；
設直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點坐標，得：
4k+3=0，k=-
∴直線AC：y=-x+3．

（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F、H，則有△ADF∽△DCH∽△ACO
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5，
∴FD=AD=，AF=AD=，DH=3-，HC=4-，
∴D（，3-）．

（3）CE=t，E（4-t，0），OE=OC-CE=4-t，HE=|CH-CE|=|（4-）-t|=|4-|
則OD²=DH²+OH²=（3-）²+（）²=9t²-t+9，
DE²=DH²+HE²=（3-）2+（4-）²=t²-38t+25，
當△ODE為Rt△時，有OD²+DE²=OE²，或OD²+OE²=DE²，或DE²+OE²=OD²，
則（9t²-t+9）+（t²-38t+25）=（4-t）²  ①，
或（9t²-t+9）+（4-t）²=t²-38t+25      ②，
或（t²-38t+25）+（4-t）²=9t²-t+9      ③，
上述三個方程在0≤t≤內(nèi)的所有實數(shù)解為：
t₁=，t₂=1，t₃=0，t₄=．

（4）當DO⊥OE，及DE⊥OE時，即t₃=0和t₄=時，以Rt△ODE的三個頂點不能確定對稱軸平行于y軸的拋物線，其它兩種情況都可以各確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線．
當t₂=1時，D（，），E（3，0），因為拋物線過O（0，0），
所以設所求拋物線為y=ax²+bx，將點D、E坐標代入，求得 a=-，b=，
∴所求拋物線為：y=-x²+x
（當t₁=時，所求拋物線為y=-x²+x）．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應用、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等重要知識；后面兩問的難度較大，注意分類進行討論．