Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)B是⊙O 上一點(diǎn)，AB是⊙O的切線，連接BP并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)C．

（1）求證AB＝AC；

（2）若PC＝，OA＝15，求⊙O的半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OB，求切線性質(zhì)得OB⊥AB，可得∠OBP+∠ABP=90°，有等邊對(duì)等角得∠OBP=∠OPB，由對(duì)頂角及等量代換得到∠OBP=∠OPC，再由OA⊥直線l，得到∠APC+∠ACP=90°，從而∠ABP=∠ACP，由等角對(duì)等邊即可得AB=AC；

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于D，連接BD，設(shè)⊙O半徑為R，則AP=15-R，OB=R，根據(jù)勾股定理得出方程152-R2=（6）2-（15-R）2，求出R即可．求出AC=AB=4，△DBP∽△CAP，得出，代入求出BP即可．

（1）連接OB，

∴OB⊥AB，

∴∠OBP+∠ABP=90°，

∵OB=OP，

∴∠OBP=∠OPB，

∴∠OBP=∠OPC，

∵OA⊥直線l，

∴∠PAC=90°，

∴∠APC+∠ACP=90°，

∴∠ABP=∠ACP，

∴AB=AC；

（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于D，連接BD，

設(shè)⊙O半徑為R，則AP=15-R，OB=R，

在Rt△OBA中，AB2=152-R2，

在Rt△APC中，AC2=（）2-（15-R）2，

∵AB=AC，

∴152-R2=（）2-（15-R）2，

解得：R=9，

即⊙O半徑為9，

則AC=AB=12，

∵PD為直徑，OA⊥直線l，

∴∠DBP=∠PAC，

∵∠APC=∠BPD，

∴△DBP∽△CAP，

∴，

∴，

∴PB=．