Question

拋物線y=﹣x²平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．

（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；

（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；

（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵將拋物線y=﹣x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），

∴平移后的拋物線的表達式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x²+2x+3，即y=﹣x²+2x+3。

∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴頂點D的坐標為（1，4）。

（2）∠ACB與∠ABD相等。理由如下：

如圖，∵y=﹣x²+2x+3，

∴當x=0時，y=3，即C點坐標為（0，3）。

又∵B（3，0），∠BOC=90°，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°。

在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，

∴BC²+CD²=BD²。∴∠BCD=90°。

∴。

∵在△AOC中，∠AOC=90°，∴tan∠ACO=。

∴tan∠ACO=tan∠CBD。∴∠ACO=∠CBD。

∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD。

（3）∵點P在平移后的拋物線的對稱軸上，而y=﹣x²+2x+3的對稱軸為x=1，

∴可設(shè)P點的坐標為（1，n）。

∵△ABC是銳角三角形，∴當△CDP與△ABC相似時，△CDP也是銳角三角形。

∴n＜4，即點P只能在點D的下方。

又∵∠CDP=∠ABC=45°，∴D與B是對應(yīng)點，分兩種情況：

①如果△CDP∽△ABC，那么，

即。解得n=，

∴P點的坐標為（1，）。

②如果△CDP∽△CBA，那么，

即，解得n=。

∴P點的坐標為（1，）。

綜上可知P點的坐標為（1，）或（1，）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平移不改變二次項系數(shù)a的值，且平移后的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），可知平移后拋物線的表達式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x²+2x+3，再運用配方法化為頂點式，即可求出頂點D的坐標。

（2）先由B、C兩點的坐標，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，則由正切函數(shù)的定義求出tan∠CBD=，在△AOC中，由正切函數(shù)的定義也求出tan∠ACO=，得出∠ACO=∠CBD，則∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD。

（3）設(shè)P點的坐標為（1，n），先由相似三角形的形狀相同，得出△CDP是銳角三角形，則n＜4，再根據(jù)∠CDP=∠ABC=45°，得到D與B是對應(yīng)點，所以分兩種情況進行討論：

①△CDP∽△ABC；

②△CDP∽△CBA。

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于n的方程，解方程即可。