Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是射線AB上一點，點F是直線AD上一點，BE=DF，連接EF交線段BD于點G，交AO于點H．若AB=3，AG=，則線段EH的長為　  　．

 

Answer 1

【答案】

或

【解析】

試題分析：由EF與線段BD相交，可知點E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形：

①點E在線段AB上，點F在線段AD延長線上，依題意畫出圖形，如圖所示：

過點E作EM⊥AB，交BD于點M，則EM∥AF，△BEM為等腰直角三角形，

∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F。

∵△BEM為等腰直角三角形，∴EM=BE。

∵BE=DF，∴EM=DF。

∵在△EMG與△FDG中，EM=DF，∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F，

∴△EMG≌△FDG（ASA）。

∴EG=FG，即G為EF的中點。

∴EF=2AG=2（直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半）。

設BE=DF=x，則AE=3﹣x，AF=3+x，

在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3﹣x）²+（3+x）²=（2）²。

解得x=1，即BE=DF=1�！郃E=2，AF=4�！鄑an∠F=。

設EF與CD交于點K，則在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，

∴CK=CD﹣DK=。

∵AB∥CD，∴△AEH≌△CKH，∴。

∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=。

過點H作HN∥AE，交AD于點N，則△ANH為等腰直角三角形，

∴AN=AH=。

∵HN∥AE，∴，即。∴EH=。

②點E在線段AB的延長線上，點F在線段AD上，依題意畫出圖形，如圖所示，

同理可求得：EH=。

綜上所述，線段EH的長為或。