Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形OA?B?C?，此時直線OA?、直線B?C?分別與直線BC相交于P、Q．
（1）四邊形OABC的形狀是

矩形

，當(dāng)α=90°時，

BP

PQ

的值是

4：3

．
（2）①如圖2，當(dāng)四邊形OA?B?C?的頂點(diǎn)B?落在y軸正半軸時，則

BP

PQ

=

7

15

．
②如圖3，當(dāng)四邊形OA?B?C?的頂點(diǎn)B?落在直線BC上時，則△OPB?的面積為

75

4

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形進(jìn)行判斷當(dāng)α=90°時，就是長與寬的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根據(jù)勾股定理求得PB′的長，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算．

解答：解：（1）四邊形OABC的形狀是矩形；根據(jù)題意即是矩形的長與寬的比，即 4：3．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴

CP

A′B′

=

OC

OA′

，即

CP

6

=

6

8

，
∴CP=

9

2

，BP=BC-CP=

7

2

．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴

CQ

C′Q

=

B′C

B′C′

，即

CQ

6

=

10-6

8

，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴

BP

PQ

=

7 2

9 2 +3

=

7

15

；
②在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′ ∠OCP=∠A′=90° OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

．
∴S_△OPB′=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

；
故填：矩形，

4

3

，

7

15

，

75

4

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．