Question

如圖，AB為⊙O的直徑，過半徑OA的中點G作弦CE⊥AB，在上取一點D，直線CD、ED分別交直線AB于點F和M．
（1）求∠COA和∠FDM的度數(shù)；
（2）已知OM=1，MF=3，請求出⊙O的半徑并計算tan∠DMF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于CG⊥OA，根據(jù)垂徑定理可得出，弧CA=弧AE，那么根據(jù)圓周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根據(jù)OG是半徑的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°；
（2）由直徑AB⊥CE，根據(jù)垂徑定理得出AB垂直平分CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到MC=ME，則∠CMA=∠EMA，∠FMD=∠CMA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠F=∠OCM，又∠FOC=∠COM，得出△FOC∽△COM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出，求出OC=2；解Rt△CGO，求出CG=，在Rt△CMG中，根據(jù)正切函數(shù)的定義，求出tan∠CMA=，則tan∠DMF=．
解答：解：（1）∵OA、OC都是⊙O的半徑，且G為OA的中點，
∴在Rt△OCG中，cos∠COG=，
∴∠COG=60°即∠COA=60°；
∵==，
∴∠EDC=∠COA=60°，
∴∠EDF=120°，即∠FDM=120°；

（2）∵直徑AB⊥CE，
∴AB平分CE，即AB垂直平分CE，
∴MC=ME，
∴∠CMA=∠EMA，
又∵∠FMD=∠EMA，
∴∠FMD=∠CMA，
∵∠FDM=∠COM=120°，
∴∠F=∠OCM，
又∵∠FOC=∠COM，
∴△FOC∽△COM，
∴，即OC²=OM•OF=1×（1+3）=4，
∴OC=2，
∴OG=OC=1，
∵OM=1，
∴GM=OG+OM=1+1=2．
在Rt△CGO中，CG=OC•sin∠COG=2×=，
又∵∠DMF=∠CMA，
∴tan∠DMF=tan∠CMA=．
故⊙O的半徑我2，tan∠DMF=．
點評：本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形的性質(zhì)等知識點，根據(jù)垂徑定理得出角相等是解題的關(guān)鍵．