如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動(dòng),△DEF運(yùn)動(dòng),并滿足:點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng),且DE、始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn).
(1)求證:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形?若能,求出BE的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)線段AM最短時(shí),求重疊部分的面積.

【答案】分析:(1)由AB=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角,可得∠B=∠C,又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì),易證得∠CEM=∠BAE,則可證得:△ABE∽△ECM;
(2)首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,可得AE≠AM,然后分別從AE=EM與AM=EM去分析,注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案;
(3)首先設(shè)BE=x,由△ABE∽△ECM,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,易得CM=-+x=-(x-3)2+,繼而求得AM的值,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得線段AM的最小值,繼而求得重疊部分的面積.
解答:(1)證明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;

(2)能.
解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
當(dāng)AE=EM時(shí),則△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC-EC=6-5=1,
當(dāng)AM=EM時(shí),則∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
,
∴CE=,
∴BE=6-=
若AE=AM,此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合,M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即BE=0.
∴BE=1或或0.

(3)解:設(shè)BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
,
即:
∴CM=-+x=-(x-3)2+,
∴AM=5-CM═(x-3)2+,
∴當(dāng)x=3時(shí),AM最短為,
又∵當(dāng)BE=x=3=BC時(shí),
∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),
∴AE⊥BC,
∴AE==4,
此時(shí),EF⊥AC,
∴EM==,
S△AEM=
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題.此題難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.
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75
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( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

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16
cm.

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