Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連結(jié)AE．F為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．

（1）求證：△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，BE=3，AD=，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BF=．

【解析】

試題分析：（1）求三角形相似就要得出兩組對(duì)應(yīng)的角相等，已知了∠BFE=∠C，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得出∠ADE=∠AFB，根據(jù)AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，這樣就構(gòu)成了兩三角形相似的條件．

（2）根據(jù)（1）的相似三角形可得出關(guān)于AB，AE，AD，BF的比例關(guān)系，有了AD，AB的長(zhǎng)，只需求出AE的長(zhǎng)即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，這樣就能求出BF的長(zhǎng)了．

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，

∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，

∴∠BAF=∠AED．

∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，

∴∠AFB=∠D，

∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，

∴BE⊥AB．

∴∠ABE=90°．

∴AE===5．

∵△ABF∽△EAD，

∴=，

∴=．

∴BF=．