Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個三角形紙片的一個頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點(diǎn)E、F，∠EDF=60°，當(dāng)CE=AF時，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF．

（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)CE≠AF時，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；

（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖3請直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；

（3）連EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關(guān)系式，并指出當(dāng)x為何值時，y有最小值，最小值是多少？

Answer 1

解：（1）DF=DE．理由如下：

如答圖1，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：

如答圖2，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF與△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．則S_△ADF=S_△BDE，AF=BE=x．

依題意得：y=S_△BEF+S_△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）²+．即y=（x+1）²+．

∵＞0，

∴該拋物線的開口方向向上，

∴當(dāng)x=0即點(diǎn)E、B重合時，y_最小值=．