【題目】[閱讀理解]

構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法,我們常用這種方法證明線段的中點問題.

例如:如圖,D是△ABCAB上一點,EAC的中點,過點CCFAB,交DE的延長線于點F,則易證E是線段DF的中點.

[經(jīng)驗運用]

請運用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗和方法解決下列問題.

1)如圖1,在正方形ABCD中,點EAB上,點FBC的延長線上,且滿足AECF,連接EFAC于點G

求證:GEF的中點;

CGBE

[拓展延伸]

2)如圖2,在矩形ABCD中,AB2BC,點EAB上,點FBC的延長線上,且滿足AE2CF,連接EFAC于點G.探究BECG之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

3)如圖3,若點EBA的延長線上,點F在線段BC上,DFAC于點HBF2,CF1,( 2)中的其它條件不變,請直接寫出GH的長.

【答案】1)①詳見解析;②詳見解析;(2BECG,理由詳見解析;(3

【解析】

1)①過點EEIBCAC于點I,證明EIG≌△FCGASA),得出EGFG即可;

②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出 AIAE,由平行線得出,證出ICBE,由全等三角形的性質(zhì)得出IGCGIC,即可得出結(jié)論;

2)作EIBC AC于點I,由三角函數(shù)證出AE2IE,得出IECF,證EIG≌△FCGASA),得出EGFG,IGCG,設(shè)IEa,則AE2a,求出,則,得出ICEB,即可得出結(jié)果;

3)作FPABACP,則FPCD,∠CFP=∠ABC90°,∠CPF=∠CAB,則tanCPFtanCAB,求出AEPF2,BC3,CDAB2BC6AC3,證明CPF∽△CAB,得出,求出PCACPA2,AGPG,再證明PFH∽△CDH,得出,得出PHPC,即可得出結(jié)果.

1)證明:過點EEIBCAC于點I,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

ABBC,∠AEI=∠ABC90°,

∴∠BAC45°,

∴∠AIE=∠BAC45°,

AEEI

AECF,

CFEI

EIBC,

∴∠EIG=∠FCG,∠IEG=∠CFG,

在△EIG和△FCG中,

∴△EIG≌△FCGASA),

EGFG

GEF的中點;

RtAEI中,∠AEI90°,AEEI,

∴△AEI是等腰直角三角形,

AIAE,

EIBC,

ICBE,

∵△EIG≌△FCG

IGCGIC,

CG×BEBE

2)解:BECG之間的數(shù)量關(guān)系為:BECG;理由如下:

過點EEIBC AC于點I,如圖2所示:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠AEI=∠ABC90°,ABCD,ABCD

RtAEIRtABC中,∠ABC=∠AEI90°,AB2BC,

tanIAE

AE2IE

AE2CF,

IECF

EIBC,

∴∠EIG=∠FCG,∠IEG=∠CFG,

在△EIG和△FCG中,,

∴△EIG≌△FCGASA),

EGFG,IGCG

設(shè)IEa,則AE2a

RtAEI中,∠AEI90°,

AIa,cosIAE

,

EIBC

,

ICEB

IGCGIC,

CGBE

BECG;

3)解:作FPABACP,如圖3所示:

FPCD,∠CFP=∠ABC90°,∠CPF=∠CAB,

RtCFPRtABC中,AB2BC,

tanCPFtanCAB

PF2CF,

AE2CF

AEPF2,

同(2)得:△AEG≌△PFGAAS),

AGPG

BF2,CF1

BC3,CDAB2BC6

AC3,

FPAB

∴△CPF∽△CAB,

PCAC,PAACPC2

AGPGPA,

FPCD

∴△PFH∽△CDH,

PHPC,

GHPG+PH

練習(xí)冊系列答案
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3)點是線段的中點,將拋物線軸正方向平移得到新拋物線,經(jīng)過點的頂點為點,在新拋物線的對稱軸上,是否存在點,使得為等腰三角形?若存在,直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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1)張明老師從三種網(wǎng)絡(luò)授課方式中隨機選取一種,是智慧云直播的概率為   ;

2)張明和李剛兩位老師從中隨機各選取一種網(wǎng)絡(luò)直播方式進行授課,請你用列表法或畫樹狀圖法,求出張明和李剛兩位老師選取不同的網(wǎng)絡(luò)直播授課方式的概率.

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1)直接寫出的函數(shù)關(guān)系式;

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