Question

如圖，△ABC中，點E是AB、BC的垂直平分線的交點，AE的延長線交BC于點D，AB=AD，AE=BD，求∠DAC的度數(shù)．

Answer 1

分析：由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出AE=BE=CE，由等邊對等角可知∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，∠EAC=∠ECA，再根據(jù)AE=BD，可知BE=BD，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得∠BAC=∠BCA，繼而證得AB=BC，然后設(shè)∠BAD=x，由AE=BE可知∠AEE=x，根據(jù)∠BED是△ABE的外角，可知∠BED=2x，由三角形內(nèi)角和定理可求出x的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：∵點E是AB，BC的垂直平分線的交點，
∴AE=BE=CE，
∴∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，∠EAC=∠ECA
∵AE=BD，
∴BE=BD，
∴∠BED=∠BDE
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠BED=∠ABD
∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∠ABD=∠ABE+∠DBE，
∴∠EAB=∠EBD
又∵∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，
∴∠EAB=∠ECB，
∴∠EAC+∠EAB=∠ECB+∠ECA，即∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
設(shè)∠BAD=x，
∵AE=BE，
∴∠AEE=x，
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=2x，
∵BE=BD，
∴∠ADB=∠BED=2x，
∵AB=AD，
∴∠ABD=2x，
∴∠BAD+∠ABD+∠ADB=x+2x+2x=180°，解得x=36°，
∴∠ABD=72°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=

180°-∠ABD

2

=54°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=54°-36°=18°．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，在解答此類題目時往往用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱藏條件．