Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AC上，∠DFC=∠AEB．
（1）求證：△ADF∽△CAE；
（2）當(dāng)AD=8，DC=6，點(diǎn)E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)時(shí)，求直角梯形ABCD的面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知∠DFC=∠AEB，則它們的補(bǔ)角也相等；再由梯形的平行線得出的內(nèi)錯(cuò)角相等，即可判定兩個(gè)三角形相似．
（2）欲求梯形的面積，首先須求出BC的長，那么求出CE的長是解答此題的關(guān)鍵；可在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理求出AC的長，進(jìn)而可求出AF的長；然后根據(jù)（1）的相似三角形得出的對(duì)應(yīng)成比例線段，求出EC的長，由此得解．
解答：（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACE；
∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC；
∴△ADF∽△CAE；

（2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE，
∴=；
∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°，
∴AC==10；
又F是AC的中點(diǎn)，∴AF=AC=5；
∴=，解得CE=；
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BC=2CE=；
∴直角梯形ABCD的面積=×（+8）×6=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．