Question

在汽車車輪修理廠，工人師傅常用兩個棱長為a的正方形卡住車輪．如圖是其截面圖（a小于車輪半徑），量出兩個正方形的距離AB的長為2b，就可以得出車輪的直徑．請你推求出直徑d的公式．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)切點為P，如圖，小正方形的頂點分別為C，D，連接CD，OD，OP，OP與CD交于點E，由圓O與AB相切于P，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP與AB垂直，又CD與AB平行，故OP與CD也垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為CD中點，構(gòu)成直角三角形ODE，設(shè)出半徑為r，根據(jù)DE=AP=b，EP=AD=a，分別表示出DE和OE，在直角三角形ODE中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的值，進而求出直徑d的值．
解答：解：如圖，設(shè)切點為P，小正方形在圓上的頂點分別為C，D，
連接CD，OD，OP，OP與CD交于E，則OP⊥AB，
故OP⊥CD，E為CD中點，設(shè)半徑為r，
在Rt△ODE中，DE=b，OD=r，OE=r-a，
∴根據(jù)勾股定理得：（r-a）²+b²=r²，
∴r=，
則d=2r=．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，以及勾股定理，本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合思想及方程的思想來解決問題．