Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=過(guò)點(diǎn)A（-4，1），過(guò)點(diǎn)P是與點(diǎn)A不重合的雙曲線上任一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和P分別向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂足分別為B、C和D、E．
（1）求k、S_△ADC及S_△PDC值；
（2）判斷AP和DC 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索以A、P、C、D四點(diǎn)為定點(diǎn)的四邊形能否成為菱形和等腰梯形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出k的值，得到反比例函數(shù)的解析式，利用反比例函數(shù)的幾何意義求出S_△ADC及S_△PDC值；
（2）過(guò)點(diǎn)A、P作△ADC和△PDC公共邊DC上的高AM和PN，根據(jù)同底的三角形面積相等其高相等，得到AM=PN，由于都垂直于DC，可得AM∥PN，得到四邊形AMNP是平行四邊形，可得AP∥CD．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)，結(jié)合反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=-，解答即可．
解答：解：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)（-4，1）代入y=，得k=-4．
∴雙曲線解析式為y=-．
∴S_矩形ABCO=S_矩形PDOE=|k|=4．
又∵S_△ADC=S_矩形ABCO，S_△PDC=S_矩形PDOE，
∴S_△PDC=S_△ADC=2．

（2）AP∥DC，理由如下：
過(guò)點(diǎn)A、P作△ADC和△PDC公共邊DC上的高AM和PN．
∵S_△PDC=S_△ADC，
∴AM=PN，且AM∥PN，
∴四邊形AMNP是平行四邊形．
∴AP∥CD．

（3）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）；
當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），（1，-4）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，同底等高的三角形面積相等，等腰梯形和菱形的性質(zhì)等內(nèi)容，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．