Question

（2012•龍灣區(qū)二模）如圖，已知O是射線AX上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心、r為半徑的圓與射線AY切于點(diǎn)B，交射線OX于點(diǎn)C．連接BC，作CD⊥BC，交射線AY于點(diǎn)D．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若r=6，sinA=

3

5

，求AD的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的定義可得BO⊥AD，然后求出∠ABO=∠BCD，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB，然后求出∠ABC=∠ACD，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似證明即可；
（2）根據(jù)∠A的正弦值先求出OA，然后求出AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵⊙O與射線AY切于點(diǎn)B，
∴BO⊥AD，
∵CD⊥BC，
∴∠ABO=∠BCD=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACD，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；

（2）∵BO⊥AD，r=6，sinA=

3

5

，
∴AO=10，
∴AC=AO+OC=10+6=16，
AB=

AO2-BO2

=

102-62

=8，
∵△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
∴

16

AD

=

8

16

，
解得AD=32．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的定義，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)圓的半徑相等、利用等邊對(duì)等角找出三角形相似的條件是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．