Question

已知△ABC中，邊BC的長(zhǎng)與BC邊上的高的和為20．
（1）寫出△ABC的面積y與BC的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積為48時(shí)BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)BC多長(zhǎng)時(shí)，△ABC的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，是否存在其周長(zhǎng)最小的情形？如果存在，請(qǐng)說(shuō)出理由，并求出其最小周長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)給予說(shuō)明．

Answer 1

解：（1）由題意，得 y= =﹣x²+10x，當(dāng)y=48時(shí)，﹣x²+10x=48，解得：x₁=12，x₂=8， ∴面積為48時(shí)BC的長(zhǎng)為12或8；
（2）∵， ∴y=﹣ （x﹣10）²+50，
∴當(dāng)x=10時(shí)，y最大=50；
（3）△ABC面積最大時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)存在最小的情形．理由如下：
由（2）可知△ABC的面積最大時(shí)，BC=10，BC邊上的高也為10 過(guò)點(diǎn)A作直線L平行于BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′，
連接B′C 交直線L于點(diǎn)A′，再連接A′B，AB′
則由對(duì)稱性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
當(dāng)點(diǎn)A不在線段B′C上時(shí)，則由三角形三邊關(guān)系可得：
△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
當(dāng)點(diǎn)A在線段B′C上時(shí)，即點(diǎn)A與A′重合，
這時(shí)△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此當(dāng)點(diǎn)A與A′重合時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最��；
這時(shí)由作法可知：BB′=20，
∴B′C= ，
∴△ABC的周長(zhǎng)=，
因此當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，存在其周長(zhǎng)最小的情形，最小周長(zhǎng)為．