Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E不與D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合）．把△DEF沿EF對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，設(shè)DE=x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求CD的長(zhǎng)及∠1的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)G恰好在BC上，求此時(shí)x的值；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）將AB平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，利用勾股定理，則可得出CD的長(zhǎng)度，根據(jù)CD與AD的長(zhǎng)度關(guān)系可得出∠DAC的度數(shù)，也就得出了∠1的度數(shù)．
（2）根據(jù)點(diǎn)G落在BC上時(shí)，有GE=DE=x，EC=，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根據(jù)GE=2CE列出方程即可得出x的值．
（3）根據(jù)△EFG≌△EFD列出y的表達(dá)式，從而討論x的范圍，分別得出可能的值即可．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=6×=3，AH==3，
∵∠D=∠BCD=90°，
∴四邊形AHCD是矩形，
∴CD=AH=3，
∵AD=9，
∴tan∠DAC==，
∴∠DAC=30°，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠DAC=30°，
∴CD=，∠1=30°；

（2）若點(diǎn)G恰好在BC上，
則有GE=DE=x，EC=，
∵∠1=30°，
∴∠FED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴∠GEC=60°，
∴GE=2CE，
∴，
∴；

（3）∵△EFG≌△EFD，
①，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大，面積增大，
此時(shí)△的面積就是重疊的面積，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，為．
②當(dāng)3＞，△EFG就有一部分在梯形外，如圖，
∵GE=DE=x，EC=，
易求，
∴，
∴NG=，
∴，
此時(shí)，
=，
當(dāng)時(shí)，．
綜上所述．當(dāng)時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直角梯形與三角形的綜合，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)，然后將所求的題目具體化，從而利用所學(xué)的知識(shí)建立模型，然后有序解答．