Question

如圖，一元二次方程x²+2x-3=0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點B，C的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，求點P和點Q的坐標；
（3）在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標．

Answer 1

解：（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C（-3，0），B（1，0）
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）（a≠0）．
∵A（3，6）在拋物線上
∴6=a（3+3）（3-1），
∴a=．
∴拋物線解析式為：y=x²+x-．

（2）由y=x²+x-=（x+1）²-2
∴拋物線頂點P的坐標為：（-1，-2），對稱軸方程為：x=-1．
設直線AC的方程為：y=k₁x+b₁．
∵A（3，6），C（-3，0），
∴在該直線上，
解得
直線AC的方程為：y=x+3
將x=-1代入y=x+3得y=2，
∴Q點坐標為（-1，2）．

（3）作A關于x軸的對稱點A′（3，-6），
連接A'Q；A'Q與x軸交于點M即為所求的點
設直線A'Q方程為y=kx+b
∴
解得．
∴直線A'Q：y=-2x
令x=0，則y=0．
∴M點坐標為（0，0）．
分析：（1）先求出一元二次方程的兩個根，即可知與x軸的兩個交點B，C的坐標，設出兩點式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)B，C兩點的坐標可求出二次函數(shù)的頂點坐標及對稱軸方程，根據(jù)A，C兩點的坐標可求出線段AC所在直線的表達式，求出兩方程的交點即為Q點的坐標；
（3）根據(jù)兩點之間線段最短，故當此三點在同一條直線上時MQ+MA取得最小值，作A關于x軸的對稱點A′，連接A′Q；A′Q與x軸交于點M即為所求的點．
點評：本題綜合考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關系，及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，比較復雜．