Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．
（1）填空：AB=______；
（2）現(xiàn)有一個(gè)⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與斜邊AB相切于點(diǎn)D，又分別與邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F．
①若⊙O與邊BC相切于點(diǎn)C時(shí)，如圖1，求出此時(shí)⊙O的半徑r；
②求⊙O的半徑r的變化范圍．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°
∴sinA==，
而B(niǎo)C=6，
∴AB=10．
故答案為10；
（2）①如圖1，連OD，
∵BC、BA分別與⊙O切于C點(diǎn)、D點(diǎn)，
∴BD=BC=6，
∴AD=AB-BD=4，
在Rt△ABC中，AC==8，
在Rt△OAD中，OA=AC-OC=8-r，AD=4，OD=r，
∵OA²=OD²+DA²，
∴（8-r）²=r²+4²，
∴r=3；
②如圖3，作高CD，當(dāng)CD為⊙O的直徑時(shí)，r最小，
CD•AB=AC•BC，即CD==，
此時(shí)r=CD=，
當(dāng)E和C重合，F(xiàn)點(diǎn)與A重合時(shí)半徑最大，此時(shí)半徑為
所以⊙O的半徑r的變化范圍為≤r≤．
分析：（1）根據(jù)正弦的定義得到sinA==，易計(jì)算出AB的長(zhǎng)為10；
（2）①根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BD=BC=6，則AD=AB-BD=4，利用勾股定理可計(jì)算出AC=8，然后在Rt△OAD中再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出半徑r=3；
②作高CD，當(dāng)CD為⊙O的直徑時(shí)，r最小，利用面積相等可計(jì)算出CD=，則此時(shí)r=CD=，并且如圖1時(shí)，即圓心O在AC上時(shí)r最大，于是⊙O的半徑r的變化范圍為≤r≤3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；圓的切線長(zhǎng)相等；運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算是常用的方法．