Question

如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接BO、ED，且BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連接DF．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）連接CE，求證：AE²=AD•AC；
（3）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，首先證明△BCO≌△BEO，可以得到∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB，則AB是⊙O切線；
（2）證明△AED∽△ACE，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得；
（3）首先利用勾股定理即可求得CE的長，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解．
解答：解：（1）證明：連接OE．
∵ED∥OB，∠2=∠OED，∴∠1=∠3．
又OB=OB，OE=OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）  
∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB，
∴AB是⊙O切線．
（2）連接CE．
∵∠CEO+∠OED=∠OED+∠DEA=90°，∴∠CEO=∠DEA．
又∠CEO=∠4，∴∠4=∠DEA，
又∠A=∠A，∴△AED∽△ACE．
∴=，∴AE²=AD•AC．

（3）∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，CD=2CO=10．
∴ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×=6．
∴CE=．
在Rt△CEG中，=sin∠4=，
∴EG=×8=．
根據(jù)垂徑定理得：EF=2EG=．
點(diǎn)評：本題考查了切線的證明，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，證明切線常用的方法是轉(zhuǎn)化成證明垂直．