Question

直角梯形紙片ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，點E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點A的落點記為P，P落在直角梯形ABCD內(nèi)部．
（1）若AE=5，要使PD值最小，確定點P的位置，同時說明PD值最小的理由．
（2）當(dāng)AE為多少時，PD的值最小．

Answer 1

解：根據(jù)題意畫出圖形如圖1所示：
（1）PD=-5．
已知EP=5，
DE==，
D在以E為圓心5為半徑的圓外，
∴P為⊙E與DE的交點，
∴PD=-5；


（2）連接ED，過P₁P⊥ED于P，
那么在Rt△P₁PD中，P₁D＞PD，
故當(dāng)點A的對稱點P落在線段ED上時，PD有最小值，（圖2）
而E在線段AB上，
故當(dāng)E與B重合時，即EP=BP，此時PD取最小值．（圖3）
此時，AB=BP=8，
又∵BD==4，
∴PD=BD-BP=4-8．
AE=x，
DE=，
DP=-x，
解得x=8．
分析：（1）利用勾股定理易得DE的長，畫出以E為圓心，AE長為半徑的圓，可得P為DE與⊙E的交點；
（2）連接ED，過P₁P⊥ED于P，得到PD的最小值，利用勾股定理可得AE的值．
點評：考查了折疊的相關(guān)問題；用到的知識點為：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；注意利用矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．