Question

在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA=2，∠AOC=60°，以O(shè)A為直徑的⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，交AB于E．
（1）直接寫出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；
（2）求證：DE是⊙P的切線．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)BA與x軸交點(diǎn)F，已知四邊形OABC為平行四邊形，所以BF∥y軸，所以AF垂直于x軸，得直角三角形AOF，由已知OA=2，∠AOC=60°，得∠AOF=30°，所以AF=

1

2

OA=1，根據(jù)勾股定理得OF=

3

，所以得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

，1），連接AC，由圓周角定理得∠ACO=90°，得四邊形ACOF為矩形，所以O(shè)C=AF=1，又已知四邊形OABC為平行四邊形，所以AB=OC=1，所以BF=AB+AF=2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

，2）．
（2）要想證明DE是⊙P的切線．就得證PD⊥DE，連接PC、PD，得到∠PCO=60°，可證∠PCD=60°由已知平行四邊形又得∠B=60°，已知DE⊥AB，所以可證∠BDE=30°，從而證∠PDE=90°，即PD⊥DE．得證．

解答：解：（1）點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為（

3

，1），（

3

，2）．

（2）證明：連接PC、PD，
∴PO=PC=PD（⊙P的半徑），∴∠PCO=∠AOC=60°，
又∵四邊形OABC為平行四邊形，∠AOC=60°，
∴∠DCQ=∠AOC=60°，
∴∠PCD=180°-∠PCO-∠DCY=60°，
∴∠PDC=∠PCD=60°
又∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴∠B=∠AOC=60°，
已知DE⊥AB，∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，
∴∠PDE=180°-∠PDC-∠BDE
=180°-60°-30°=90°，
∴PD⊥DE，
∴DE是⊙P的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及切線的判定．解答此題的關(guān)鍵是（1）通過(guò)延長(zhǎng)BA交x軸于F，得到BF⊥x軸，得，∠AOC=60°到直角三角形AOF，求得OF和AF，再由圓周角定理和已知平行四邊形求得BF，從而確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．（2），通過(guò)已知，∠AOC=60°，得到，∠PDE=90°．