Question

如圖，已知一次函數(shù)y=x+3與函數(shù)y=x+的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸、y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D，y=x+的圖象與x軸、y軸交于點(diǎn)C，E，
（1）求點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）能否說明△ECO與△BDO相似嗎？
（3）動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒4厘米的速度運(yùn)動．同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿射線DB運(yùn)動，且始終保持OP⊥OQ．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．
①△PCO與△DQO相似嗎？例說明理由；
②求動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度；
③設(shè)△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)y=x+的圖象與x軸交于點(diǎn)C，可求點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，0）；根據(jù)一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)D，可求點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，3）；由于一次函數(shù)y=x+3與函數(shù)y=x+的圖象交于點(diǎn)A，聯(lián)立這兩個一次函數(shù)的解析式，得到關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似即可得出△ECO∽△BDO；
（3）①根據(jù)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可得出△PCO∽△QDO；
②根據(jù)△PCO∽△QDO，求得DQ的長，即點(diǎn)Q一秒移動的距離，即Q的速度；
②分別用時間t表示出AP，AQ的長，根據(jù)直角三角形的面積即可求得函數(shù)解析式．
解答：解：（1）∵y=x+的圖象與x軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)y=0時，x+=0，解得x=-4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，0）；
∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)D，
∴當(dāng)x=0時，y=3，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，3）；
解方程組，得，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）；

（2）△ECO與△BDO相似，理由如下：
∵y=x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時，x=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
∵y=x+的圖象與y軸交于點(diǎn)E，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．
在△ECO與△BDO中，
∵OE：OB=：4=4：3，OC：OD=4：3，
∴OE：OB=OC：OD，
又∵∠EOC=∠BOD=90°，
∴△ECO∽△BDO；

（3）①△PCO與△DQO相似，理由如下：
∵∠COE=∠POQ=90°，
∴∠COE-∠POE=∠POQ-∠POE，
即∠COP=∠DOQ．
由（2）知△ECO∽△BDO，
∴∠PCO=∠QDO．
在△PCO與△QDO中，
∵∠COP=∠DOQ，∠PCO=∠QDO，
∴△PCO∽△QDO；
②∵△PCO∽△QDO，
∴=，=，
∴QD=3t，
∴動點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒3厘米；
③分兩種情況：
當(dāng)0＜t＜時，AP=AC-CP=-4t，AQ=AD+DQ=+3t，
△APQ的面積為：S=AP•AQ=（-4t）（+3t）=-6t²+t+；
當(dāng)t≥時，AP=CP-AC=4t-，AQ=AD+DQ=+3t，
△APQ的面積為：S=AP•AQ=（4t-）（+3t）=6t²-t-．
點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題，涉及到平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，注意（3）中，需根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解，這是解題的關(guān)鍵．