如圖:△PQR是等邊三角形,∠APB=120°
(1)求證:QR2=AQ•RB;
(2)若AP=2
7
,AQ=2,PB=
14
.求RQ的長和△PRB的面積.
分析:(1)利用等邊三角形性質(zhì),進(jìn)一步證得△AQP∽△PRB,再由三角形相似的性質(zhì)解答即可.
(2)利用證得的△PAQ∽△BPR,就可得:PA:BP=AQ:PR,則可算出PR、BR的長,在等邊△PQR中,PR=RQ,可求出它的高,也就是△PRB的高,由此面積也可求.
解答:(1)證明:∵△PQR是等邊三角形,
∴QR=PQ=PR,∠PQR=∠PRQ=∠QPR=60°,
∴∠AQP=∠PRB=120°,
∴∠A+∠APQ=60°,
又∵∠APB=120°,
∴∠A+∠B=60°,
∴∠APQ=∠B,
∴△AQP∽△PRB,
PQ
BR
=
AQ
PR
,QR=PQ=PR,
∴QR2=AQ•RB.

(2)解:∵△PAQ∽△BPR
∴PA:BP=AQ:PR
即2
7
14
=2:PR
∴PR=
2

在等邊△PQR中,PQ=RQ=PR=
2
底邊RQ的高為
(
2
)
2
 -(
2
2
)
2
=
6
2

∴PQ:BR=AQ:PR,即
2
:BR=2:
2
,BR=1,
∵△PRB的高為等邊△PQR的高
∴△PRB的面積為
1
2
×1×
6
2
=
6
4
點(diǎn)評:此題主要考查等邊三角形的性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì)以及等量代換的滲透,解題的關(guān)鍵是相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,△PQR是等邊三角形,∠APB=120°,
求證:QR2=AQ•RB.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,△PQR是等邊三角形,∠APB=120°
求證:(1)△PQA∽△BRP;(2)AQ•RB=QR2

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如圖,△PQR是等邊三角形,∠APB=120°,以每兩個(gè)三角形為一組寫出圖中所有的相似三角形,并選擇其中的一組加以證明.

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已知:如圖,△PQR是等邊三角形,∠APB=120°
求證:△PAQ∽△BPR.

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