Question

如圖（1）所示，正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)的圖象交于點A（-3，2）．


（1）試確定上述正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象回答，在第二象限內(nèi)，當x取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？
（3）如圖（2）所示，P（m，n）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中-3＜m＜0，過點P作直線PB∥x軸，交y軸于點B，過點A作直線AD∥y軸，交x軸于點D，交直線PB于點C．當四邊形OACP的面積為6時，請判斷線段BP與CP的大小關(guān)系，并說明理由．
（4）在第（3）問條件中，連接AP，若∠PAO=90°，試求分式m²+的值．

Answer 1

解：（1）把A（-3，2）代入y=kx得：2=-3k，
解得：k=-，
∴y=-x，
代入y=得：t=-6，
∴y=-．
答：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別是y=-x，y=-．

（2）∵A（-3，2），
由圖象可知：當-3＜x＜0時，在第二象限內(nèi)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值．

（3）答：線段BP與CP的大小關(guān)系是BP=CP，
理由是：∵P（m，n）在y=-上，
∴mn=-6，
∵DO=3，AD=2，OB=n，BP=-m，CP=3-PB，DC=n，
四邊形OACP的面積為6，
∴S_矩形CDOB-S_△ADO-S_△OBP=6，
3n-×3×2-×（-mn）=6，
3n-3-×6=6，
3n=12，
解得：n=4，
∴m=-=-，
∴P（-，4），
∴PB=，CP=3-=，
∴BP=CP．

（4）∵P（m，n），P點在y=-圖象上，
∴mn=-6，
∴n=-，
∵∠PAO=90°，
∴∠CAP+∠DAO=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠AOD=∠CAP，
又∵∠C=∠ADO=90°，
∴△CAP∽△DOA，
∴=，
∴=，
解得：m₁=-3（不合題意舍去），m₂=-，
∴m²+=（-）²+=．
分析：（1）把A的坐標代入解析式求出k、t即可；
（2）畫出圖象，根據(jù)圖象，當x取相同的數(shù)時y的值即可求出答案；
（3）求出mn的值，根據(jù)三角形的面積公式得到3n-×3×2-×（-mn）=6，求出m、n的值，求出BP、CP的值即可；
（4）根據(jù)∠PAO=90°，得出△CAP∽△DOA，再利用比例的性質(zhì)得出m的值，進而求出分式m²+的值．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．