Question

如圖，拋物線y=

1

4

x²+bx+c與x軸交于點A（-2，0），交y軸于點B（0，-

5

2

）．直線y=kx+

3

2

過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．
（1）求拋物線y=

1

4

x²+bx+c與直線y=kx+

3

2

的解析式；
（2）設(shè)點P是直線AD下方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設(shè)△PMN的周長為m，點P的橫坐標為x，求m與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于b、c的方程組，通過解方程組可以求得b、c的值；把點A的坐標代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于k的方程，通過解方程求得k的值；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推知EC=PM．易求點D的坐標是（8，7

1

2

），點C的坐標是（0，

3

2

），則CE=6．設(shè)P的坐標是（x，

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

），則M的坐標是（x，

3

4

x+

3

2

），
則PM=（

3

4

x+

3

2

）-（

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

）=-

1

4

x²+

3

2

x+4，所以由EC=PM得到-

1

4

x²+

3

2

x+4=6，通過解方程求得點P的坐標是（2，-3）和（4，-

3

2

）；  
（3）通過相似三角形△PMN∽△CDE的性質(zhì)推知：

△PMN的周長

△CDE的周長

=

PM

DC

，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入并整理可以得出m與x的函數(shù)關(guān)系式是：m=-

3

5

x²+

18

5

x+

48

5

=-

3

5

（x-3）²+15，
由拋物線的性質(zhì)可以得到：m有最大值，當x=3時，m的最大值是15．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x²+bx+c經(jīng)過點A（-2，0）和B（0，-

5

2

）
∴由此得

1-2b+c=0 c=- 5 2

，解得

b=- 3 4 c=- 5 2

∴拋物線的解析式是y=

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

；
∵直線y=kx+

3

2

經(jīng)過點A（-2，0）
∴-2k+

3

2

=0，
解得：k=

3

4

，
∴直線的解析式是 y=

3

4

x+

3

2

；

（2）可求D的坐標是（8，7

1

2

），點C的坐標是（0，

3

2

），
∴CE=6，
設(shè)P的坐標是（x，

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

），則M的坐標是（x，

3

4

x+

3

2

）
因為點P在直線AD的下方，
此時PM=（

3

4

x+

3

2

）-（

1

4

x²-

3

4

x-

5

2

）=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，
即-

1

4

x²+

3

2

x+4=6
解這個方程得：x₁=2，x₂=4，
當x=2時，y=-3，
當x=4時，y=-

3

2

，
因此，直線AD下方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，
點P的坐標是（2，-3）和（4，-

3

2

）；  

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=

82+62

=10
∴△CDE的周長是24，
∵PM∥y軸，∴∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，
∴

△PMN的周長

△CDE的周長

=

PM

DC

，即  

m

24

=

- 1 4 x2+ 3 2 x+4

10

，
化簡整理得：m與x的函數(shù)關(guān)系式是：m=-

3

5

x²+

18

5

x+

48

5

，
m=-

3

5

x²+

18

5

x+

48

5

=-

3

5

（x-3）²+15，
∵-

3

5

＜0，
∴m有最大值，當x=3時，m的最大值是15．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題時，涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性比較強，需要學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識．