Question

如圖，已知BD，CE為△ABC的角平分線，F(xiàn)為DE的中點，點F到AC，AB，BC的距離分別為FG=a，F(xiàn)H=b．FM=c，若c²-c-2ab+

1

2

m²-2m+

5

2

=0．
（1）求a，b，c，m的值；
（2）求證：DG=

BC-CD

4

．

Answer 1

分析：（1）過點E作EQ⊥AC于Q，EN⊥BC于N，過點D作DK⊥BC于K，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得EQ=EN，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EQ=2FG=2a，同理可得DK=2FH=2b，再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得EN∥FM∥DK，然后根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半可得EN+DK=2FM，從而求出2a+2b=2c，然后把c換成a、b并配方整理，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b、m，再求出c即可；
（2）根據(jù)a、b的值可得EN=DK，求出DE∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBD=∠EDB，再根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD=∠CBD，從而得到∠EBD=∠EDB，根據(jù)等角對等邊可得BE=DE，然后利用“HL”證明△EDQ和△EBN全等，同理可得△EDQ和△DCK全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BN=DQ=CK，再求出BC-CD=4DG，然后整理即可得證．

解答：（1）解：如圖，過點E作EQ⊥AC于Q，EN⊥BC于N，過點D作DK⊥BC于K，
∵CE為△ABC的角平分線，
∴EQ=EN，
在△DEQ中，∵F為DE的中點，
∴EQ=2FG=2a，
同理可得DK=2FH=2b，
在四邊形ENKD中，EN∥FM∥DK，
∴EN+DK=2FM，
即2a+2b=2c，
∵c²-c-2ab+

1

2

m²-2m+

5

2

=0，
∴（a+b）²-（a+b）-2ab+

1

2

m²-2m+

5

2

=0，
即a²+b²-2ab-a-b+

1

2

m²-2m+

5

2

=0，
整理得，（a-

1

2

）²+（b-

1

2

）²+

1

2

（m-2）²=0，
∴a-

1

2

=0，b-

1

2

=0，m-2=0，
解得a=

1

2

，b=

1

2

，m=2，
∴c=a+b=

1

2

+

1

2

=1，
故，a，b，c，m的值分別為

1

2

、

1

2

、1、2；

（2）證明：∵a=b=

1

2

，
∴EN=DK，
∴ED∥BC，
∴∠CBD=∠EDB
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
在△EDQ和△EBN中，

BE=DE EN=EQ

，
∴△EDQ≌△EBN（HL），
同理，△EDQ≌△DCK，
∴BN=DQ=CK，
∴BC-CD=BC-DE=BC-NK=2BN=2DQ=4DG，
∴DG=

BC-CD

4

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，梯形的中位線定理，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出a+b=c，然后利用配方法和非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b、m的值是解題的關鍵．