Question

已知：如圖，△ABC中，∠CAB的平分線AD和邊BC的垂直平分線ED相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF垂直于AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作DM垂直于AB交AB于點(diǎn)M．
（1）猜想CF和BM之間有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求證：AB-AC=2CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CD，BD，根據(jù)中垂線的性質(zhì)就可以得出CD=BD，由角平分線的性質(zhì)就可以得出DF=DM，就可以得出Rt△CDF≌Rt△BDM就可以得出結(jié)論；
（2）由條件可以得出Rt△AFD≌Rt△AMD，就可以得出AF=AM，由AB-AC=AB-（AF-CF）=AB-AF+CF，就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）CF=BM．                       
理由：連接CD，DB，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM．∠AFD=∠DMB=90°．
∵DE垂直平分BC，
∴CD=BD．
在Rt△CDF和Rt△BDM中，

CD=BD DF=DM

，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM．
∴CF=BM；                                  
（2）證明：在Rt△AFD和Rt△AMD中

AD=AD DF=DM

，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD，
∴AF=AM．
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AF+BM，
∴AB=AC+CF+CF，
∴AB-AC=2CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．