Question

在平面直角坐標系中，以點A（-3，0）為圓心、5為半徑的圓與軸相交于點B、C（點B在點C的左邊），與軸相交于點D、M(點D在點M的下方)。

（1）求以直線為對稱軸，且經(jīng)過點D、C的拋物線的解析式；　
（2）若點P是這條拋物線對稱軸上的一個動點，求PC+PD的取值范圍；　
（3）若點E為這條拋物線對稱軸上的點，則在拋物線上是否存在這樣的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形。若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)以為對稱軸的拋物線的解析式為          ，     由已知得點C、D的坐標分別為C（2，0）、D（0，-4），     分別代入解析式，得 ，     解得：，     ∴經(jīng)過點D、C的拋物線的解析式為。
（2）如圖1，       ∵點C（2，0）關(guān)于直線的對稱點為點B（-8，0），       ∴要求PC+PD的最小值，即求線段BD的長，       在Rt△BOD中，由勾股定理得，       ∴PC+PD的最小值是，       ∵點P是對稱軸上的動點，　　   　 ∴PC+PD無最大值，   　 ∴PC+PD的取值范圍是
（3）存在，   ①(圖2)當(dāng)BC為平行四邊形的一邊時，若點F在拋物線上，且使四邊形 BCFE或四邊形BCEF為平行四邊形，則有BC∥EF且BC=EF，    設(shè)點E（-3，t），過點E作直線EF∥BC與拋物線交于點F（m，t），    由BC=EF，得EF=10，    ∴F1（7，t），F(xiàn)2（-13，t），  又當(dāng)m=7時，，   ∴F1（7，）F2（-13，）。   ②(圖3)當(dāng)BC為所求平行四邊形的對角線時，　　　   由平行四邊形性質(zhì)可知，點F即為拋物線的頂點（-3，），   ∴存在三個符合條件的F點，分別為F1（7，），F(xiàn)2（-13，）， F3（-3，）。