Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A并與AC垂直．當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)到某一位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合）時(shí)，連接PC，并將△ACP繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到△BCQ，記點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，線段PA的長(zhǎng)為m（）．

（1）①∠QBC= ；

② 如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B在直線AC的同側(cè)，且時(shí)，點(diǎn)Q到直線l的距離等于 ；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)Q恰好落在直線l上時(shí)，點(diǎn)P，Q的位置分別記為，．在圖2中畫(huà)出此時(shí)的線段及△，并直接寫(xiě)出相應(yīng)m的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)，且△PAQ的面積等于時(shí)，求m的值．

Answer 1

（1）①90°；②；（2）作圖見(jiàn)試題解析，；（3）或或．

【解析】

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到∠QBC=∠PAC=90°；

②過(guò)Q作QM⊥l于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AB交MQ于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NO⊥BQ于點(diǎn)O，可以得到∠NBQ=∠NQB=30°，得到NB=NQ，解直角三角形BNO得到NB=NQ=，得到AN=，在△AMN中，得到MN的值，從而得到MQ的長(zhǎng)；

（2）所畫(huà)圖形如圖．由∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，得到∠Q0AB=30°，同理有∠Q0BA=30°，得到Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，由于 Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，故△Q0BC≌△Q0AC，得到∠Q0CB=∠Q0CA=30°，從而計(jì)算出Q0B的長(zhǎng)；

（3）作BG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作直線l的垂線交l于點(diǎn)D，交BG于點(diǎn)F，可以求出 QF=，要使△PAQ存在，則點(diǎn)P不能與點(diǎn)A，重合，所以點(diǎn)P的位置分為以下兩種情況：

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在（2）中的線段上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，重合）時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)Q在直線l的下方．得到 DQ=DF-QF=．根據(jù)三角形面積公式有：．解方程可以得到m的值；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在（2）中的線段的延長(zhǎng)線上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，重合）時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)Q在直線l的上方．此時(shí)DQ=QF-DF= ．根據(jù)三角形面積公式有：．．解方程可以得到m的值．

試題解析：【解析】
（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到△QBC≌△PAC，∠QBC=∠PAC=90°；

②過(guò)Q作QM⊥l于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AB交MQ于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NO⊥BQ于點(diǎn)O，如圖，∵∠BAC=60°，∠CAP=90°，∴∠PAB=30°，∠ANM=60°，∵∠CBQ=90°，，∠ABC=60°，∴∠NBQ=30°，∴∠NQB=30°，∴NB=NQ，∵BQ=AM=3，∴BO=，∴NO=，∴NB=NQ=，∵AB=4，∴AN=，∴MN=AN=，∴MQ=MN+NQ=．故當(dāng) m=3時(shí)，點(diǎn)Q到直線l的距離等于；

（2）所畫(huà)圖形如圖．∵∠BAC=60°，∠CAQ0=90°，∴∠Q0AB=30°，同理可得：∠Q0BA=30°，∴Q0B= Q0A= P0A=m，在△Q0BC和△Q0AC中，∵ Q0B=Q0A，Q0C=Q0C，BC=AC，∴△Q0BC≌△Q0AC，∴∠Q0CB=∠Q0CA=30°，∵BC=4，∴Q0B=；

（3）作BG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作直線l的垂線交l于點(diǎn)D，交BG于點(diǎn)F，∵ CA⊥直線l，∴ ∠CAP=90，易證四邊形ADFG為矩形，∵ 等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，∴ ∠ACB=60，DF=AG=CG=AC=2，∠CBG=∠CBA=30°，∵ 將△ACP繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，∴ △ACP≌△BCQ．∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90．∴ ∠QBF=60．在Rt△QBF中，∠QFB=90，∠QBF=60，BQ=m，∴ QF=，

要使△PAQ存在，則點(diǎn)P不能與點(diǎn)A，重合，所以點(diǎn)P的位置分為以下兩種情況：

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在（2）中的線段上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，重合）時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)Q在直線l的下方．∴ DQ=DF-QF=．∵，∴ ．整理，得．解得或．經(jīng)檢驗(yàn)，或在的范圍內(nèi)，均符合題意；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在（2）中的線段的延長(zhǎng)線上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，重合）時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)Q在直線l的上方．∴DQ=QF-DF= ．∵ ，∴ ．整理，得 ．解得 （舍負(fù)）．經(jīng)檢驗(yàn)，在的范圍內(nèi)，符合題意．

綜上所述，或或時(shí)，△PAQ的面積等于．

考點(diǎn)：1．等邊三角形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．