(2012•臺(tái)州模擬)閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時(shí),易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí),結(jié)論BP•PC=AB•CD仍成立嗎?試說明理由;
(2)拓展應(yīng)用:如圖3,M為AB的中點(diǎn),AE與BD交于點(diǎn)C,∠DME=∠A=∠B=45°且DM交AC于F,ME交BC于G.AB=4
2
,AF=3,求FG的長.
分析:(1)通過相似三角形△ABP∽△PCD的對(duì)應(yīng)邊成比例來證得BP•PC=AB•CD;
(2)利用相似三角形△AMF∽△BGM的對(duì)應(yīng)角相等、三角形內(nèi)角和定理證得AC⊥BC且AC=BC;然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=BC=4;最后利用相似三角形△AMF∽△BGM的對(duì)應(yīng)邊成比例以及在直角△FCG中利用勾股定理來求FG的長度.
解答:解:(1)∵∠APC=∠APD+∠CPD,∠APC=∠BAP+∠B(三角形外角定理),∠B=∠APD(已知),
∴∠BAP=∠CPD,
又∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD
BP
CD
=
AB
PC
,
∴BP•PC=AB•CD;

(2)∵∠AFM=∠DME+∠E(三角形外角定理),∠DME=∠A(已知),
∴∠AFM=∠A+∠E(等量代換),
又∠BMG=∠A+∠E(三角形外角定理),
∴∠AFM=∠BMG.
∵∠A=∠B,
∴△AMF∽△BGM.
當(dāng)∠A=∠B=45°時(shí),∠ACB=180°-∠A-∠B=90°,即AC⊥BC且AC=BC.
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),∴AM=BM=2
2
,AC=BC=4.
又∵△AMF∽△BGM,
AF
AM
=
BM
BG
,
∴BG=
AM•BM
AF
=
2
2
×2
2
3
=
8
3
,
又∵CG=4-
8
3
=
4
3
,CF=4-3=1,
FG=
CF2+CG2
=
12+(
4
3
)
2
=
5
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似綜合題.此題綜合運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角定理.
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