如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與雙曲線相交于點(diǎn)A,B,且拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,2),點(diǎn)B在第四象限內(nèi),過點(diǎn)B作直線BC∥x軸,點(diǎn)C為直線BC與拋物線的另一交點(diǎn),已知直線BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離的4倍,記拋物線頂點(diǎn)為E.
(1)求雙曲線和拋物線的解析式;
(2)計(jì)算△ABC與△ABE的面積;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使△ABD的面積等于△ABE的面積的8倍?若存在,請求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可得出k的值,設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-4m)(m>0),根據(jù)雙曲線方程可得出m的值,然后分別得出了A、B、O的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式即可;
(2)根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo),結(jié)合拋物線方程可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),繼而可得出三角形ABC的面積,先求出AB的解析式,然后求出點(diǎn)F的坐標(biāo),及EF的長,繼而根據(jù)S△ABE=S△AEF+S△BEF可得出答案.
(3)先確定符合題意的三角形ABD的面積,繼而可得出當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí),滿足條件,過點(diǎn)C作AB的平行線CD,則可求出其解析式,求出其與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵點(diǎn)A(-2,2)在雙曲線y=上,
∴k=-4,
∴雙曲線的解析式為y=-,
∵BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的4倍,
∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-4m)(m>0)代入雙曲線解析式得m=1,
∴拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過點(diǎn)A(-2,2)、B(1,-4)、O(0,0),
,
解得:,
故拋物線的解析式為y=-x2-3x;

(2)∵拋物線的解析式為y=-x2-3x,
∴頂點(diǎn)E(-,),對稱軸為x=-,
∵B(1,-4),
∴-x2-3x=-4,
解得:x1=1,x2=-4,
∵C橫坐標(biāo)<0,
∴C(-4,-4),
∴S△ABC=5×6×=15,
由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2),(1,-4)可求得直線AB的解析式為:y=-2x-2,
設(shè)拋物線的對稱軸與AB交于點(diǎn)F,連接BE,則F點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,1),
∴EF=-1=,
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=×EF×|A|+EF×|B|=××(|A|+|B|)=××3=;

(3)S△ABE=,
∴8S△ABE=15,
∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí),顯然滿足條件;
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合時(shí),過點(diǎn)C作AB的平行線CD,其對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y=-2x-12,
令-2x-12=-x2-3x,
解得x1=3,x2=-4(舍去),
當(dāng)x=3時(shí),y=-18,
故存在另一點(diǎn)D(3,-18)滿足條件.
綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,-18)或(-4,-4).
點(diǎn)評:此題屬于二次函數(shù)的綜合題目,第一問的解答關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法的運(yùn)用,求解第二問需要我們會(huì)根據(jù)函數(shù)解析式求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),此類綜合題目,難度較大,注意逐步分析.
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如圖,拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點(diǎn)P(-
1
2
,
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),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求a值;
(2)設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo),寫出一條正確的結(jié)論,并通過計(jì)算說明;
(3)設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為xA,xB,若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點(diǎn),試問當(dāng)x為何值時(shí),線段CD有最大值,其最大值為多少?

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如圖,拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交x軸正半軸于點(diǎn)B,交y軸正半軸于點(diǎn)D,精英家教網(wǎng)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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已知:如圖,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)A,直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A,矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí),求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點(diǎn)E,以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似,如果有可能,請求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點(diǎn)C(0,-2),精英家教網(wǎng)與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn),且ON=2OM,分別連接MC、MN.當(dāng)△MNC的面積最大時(shí),求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(3)若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P,與線段AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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