Question

如圖（1），拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，-2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；
（3）如圖（2），過點E（1，1）作EF⊥x軸于點F，將△AEF繞平面內某點P旋轉180°得△MNQ（點M、N、Q分別與點A、E、F對應），使點M、N在拋物線上，求點N和點P的坐標？

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，-2），
代入得：．
∴，
∴y=x²-x-2，
答：此拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）y=x²-x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
當x=0時，y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四邊形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），
∴取DC中點E，則E的坐標是（，-2），
過E作EF⊥AB于F，取EF的中點G，則G的坐標是（，-1），
則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，
把G的坐標代入y=kx+1得：k=-，
即k=-．

（3）設Q（m，n），則M（m+2，n），N（m，n-1），
代入y=x²-x-2中，得，
解得，∴Q（1，-2），N（1，-3），
又Q的對應點為F（1，0），
∴QF的中點為旋轉中心P，
即P（1，-1），點N和點M的坐標分別為：（1，-3），（3，-2）．
分析：（1）把A、C的坐標代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即可
（2）求出B、D的坐標，根據(jù)勾股定理求出等腰梯形ADCB，取DC中點E，則E的坐標是（，-2），過E作EF⊥AB于F，取EF的中點G，則G的坐標是（，-1），則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，把G的坐標代入y=kx+1即可求出答案；
（3）把x=1代入y=x²-x-2求出N的坐標，根據(jù)對稱求出QF，即可求出P的坐標．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理，中心對稱，解二元一次方程組，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等腰梯形的判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．