Question

如圖，直線AB過點A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與直線AB交于C、D兩點，P為雙曲線y=

m

x

上任意一點，過P點作PQ⊥x軸于Q，PR⊥y軸于R．
（1）用含m、n的代數(shù)式表示△AOB的面積S；
（2）若m+n=10，n為何值時S最大并求出這個最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D兩點的坐標；
（4）在（3）的條件，過O、D、C點作拋物線，當該拋物線的對稱軸為x=1時，矩形PROQ的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）已知了A、B的坐標，即可得出OA、OB的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S的表達式．
（2）將（1）S表達式中的m用n替換掉，即可得出S、n的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對應(yīng)的n的值．
（3）可聯(lián)立直線AB和反比例函數(shù)的解析式，得出C、D的坐標，由于D、C是AB的三等分點，因此C點的橫坐標是D點橫坐標的2倍據(jù)此可求出兩點的坐標．
（4）本題的關(guān)鍵是求出m的值，可根據(jù)C得到n的值表示出C、D的坐標，已知了拋物線的對稱軸為x=1，因此拋物線與x軸的另一交點坐標為（2，0），然后將C、D坐標代入拋物線中，即可求得m的值．而矩形的面積實際是P點橫坐標與縱坐標的積，也就是m的值．

解答：解：（1）S=

1

2

OA•OB=

1

2

mn

（2）由題意可得：m=10-n，
S=

1

2

mn=

1

2

n（10-n）=-

1

2

（n-5）²+

25

2

∴當n=5時，Smax=

25

2

．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有

mk+b=0 b=n

解得

k=- n m b=n

∴y=-

n

m

x+n
聯(lián)立反比例函數(shù)有：

y=- n m x+n y= m x

，
解得

x= mn+m n2-4n 2n y= n- n2-4n 2

，

x= mn-m n2-4n 2n y= n+ n2-4n 2

∴C（

mn+m n2-4n

2n

，

n- n2-4n

2

），D（

mn-m n2-4n

2n

，

n+ n2-4n

2

）
∵BD=DC=CA，
∴x_C=2x_D
即

mn+m n2-4n

2n

=2×

mn-m n2-4n

2n

，
解得n=

9

2

．

（4）當n=

9

2

時，易知C（

2

3

m，

3

2

），D（

1

3

m，3）
根據(jù)拋物線的對稱性可知，拋物線必過（2，0）點．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-2），依題意有：

2 3 ma( 2 3 m-2)= 3 2 1 3 ma( 1 3 m-2)=3

，
解得m=

18

7

設(shè)P點的坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），S_□ROQP=ab=m=

18

7

．

點評：本題是二次函數(shù)與反比例函數(shù)、一次函數(shù)的綜合題．考查了函數(shù)圖象交點、圖象面積的求法等知識點．