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10.正方形ABCD,P為BC邊上一點.BC=nBP,以AP為斜邊在正方形內(nèi)作等腰Rt△APQ,連結AC.

(1)求證:△ACP∽△ADQ;
(2)若n=2,求CEAEPEQE的值;
(3)當n=2時,E為PQ的中點;(直接填出結果,不需耍證明)
(4)如圖2,延長PQ交AD于點F,用n的代數(shù)式表示DFAFn1n2+1.(直接填出結果,不需要證明)

分析 (1)只要證明,ACAD=2APAQ=2,推出ACAD=APAQ,再證明∠DAQ=∠CAP即可證明.
(2)由題意設正方形ABCD的邊長為2a,則PB=PC=a,由△APE∽△ACP,推出PEPC=APAC=AEAP=5a22a=104,推出AE=524a,PE=104a,推出EC=AC-AE=324a,由PQ=22AP=102a,推出QE=PQ-PE=104a,推出PE=QE=104a,由此即可解決問題.
(3)由(2)可知n=2時,PE=QE.
(4)連接AC、DQ、BQ、作QM⊥AB于M,QN⊥BC于N.由(1)可知△ADQ∽△ACP,推出∠ADQ=∠ACP=45°,推出DQ平分∠ADC,由△AQM≌△PQN,推出MQ=QN,AM=PN,推出四邊形MBNQ是正方形,推出BQ平分∠ABC,BM=BN,推出B、Q、D共線,設PB=a,AM=PN=m,則AB=BC=na,可得a+m=an-m,即m=n12a,推出BM=BN=n+12a,BQ=2BN=22(n+1)a,由BD=2na,推出DQ=BD-BQ=2na-22(n+1)a=22(n-1)a,由DF∥PB,得DFPB=DQBQ,求出DF即可解決問題.

解答 (1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠DAC=45°,即∠DAQ+∠QAE=45°,ACAD=2,
∵△APQ為等腰直角三角形,
∴∠QAP=45°,即∠PAC+∠QAE=45°,APAQ=2,
∴∠PAC=∠QAD,ACAD=APAQ,
∴△ACP∽△ADQ;

(2)解:由題意設正方形ABCD的邊長為2a,則PB=PC=a,
∴AP=AB2+PB2=2a2+a2=5a,AC=2 2a,
∵∠APE=∠ACP=45°,∠PAE=∠CAP,
∴△APE∽△ACP,
PEPC=APAC=AEAP=5a22a=104,
∴AE=524a,PE=104a,
∴EC=AC-AE=324a,
∵PQ=22AP=102a,
∴QE=PQ-PE=104a,
∴PE=QE=104a,
CEAE=324a524a=35PEQE=1.

(3)解:由(2)可知,n=2時,PE=EQ.
故答案為2.

(4)解:連接AC、DQ、BQ、作QM⊥AB于M,QN⊥BC于N.
由(1)可知△ADQ∽△ACP,
∴∠ADQ=∠ACP=45°,
∴DQ平分∠ADC,
∵∠QMB=∠MBN=∠QNB=90°,
∴四邊形MBNQ是矩形,
∵∠MQN=∠AQP=90°,
∴∠AQM=∠PQN,∵∠AMQ=∠QNP=90°,AQ=PQ,
∴△AQM≌△PQN,
∴MQ=QN,AM=PN,
∴四邊形MBNQ是正方形,
∴BQ平分∠ABC,BM=BN,
∴B、Q、D共線,設PB=a,AM=PN=m,則AB=BC=na,
∴a+m=an-m,
∴m=n12a,
∴BM=BN=n+12a,BQ=2BN=22(n+1)a,
∵BD=2na,
∴DQ=BD-BQ=2na-22(n+1)a=22(n-1)a,
∵DF∥PB,
DFPB=DQBQ,
DFa=22n1a22n+1a,
∴DF=n1n+1a,
∴AF=AD-DF=na-n1n+1a=n2+1n+1a,
DFAF=n1n+1an2+1n+1a=n1n2+1
故答案為n1n2+1

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、正方形的性質和判定、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,學會利用參數(shù),探究線段之間的關系,屬于中考壓軸題.

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