分析 (1)只要證明,ACAD=√2,APAQ=√2,推出ACAD=APAQ,再證明∠DAQ=∠CAP即可證明.
(2)由題意設正方形ABCD的邊長為2a,則PB=PC=a,由△APE∽△ACP,推出PEPC=APAC=AEAP=√5a2√2a=√104,推出AE=5√24a,PE=√104a,推出EC=AC-AE=3√24a,由PQ=√22AP=√102a,推出QE=PQ-PE=√104a,推出PE=QE=√104a,由此即可解決問題.
(3)由(2)可知n=2時,PE=QE.
(4)連接AC、DQ、BQ、作QM⊥AB于M,QN⊥BC于N.由(1)可知△ADQ∽△ACP,推出∠ADQ=∠ACP=45°,推出DQ平分∠ADC,由△AQM≌△PQN,推出MQ=QN,AM=PN,推出四邊形MBNQ是正方形,推出BQ平分∠ABC,BM=BN,推出B、Q、D共線,設PB=a,AM=PN=m,則AB=BC=na,可得a+m=an-m,即m=n−12a,推出BM=BN=n+12a,BQ=√2BN=√22(n+1)a,由BD=√2na,推出DQ=BD-BQ=√2na-√22(n+1)a=√22(n-1)a,由DF∥PB,得DFPB=DQBQ,求出DF即可解決問題.
解答 (1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠DAC=45°,即∠DAQ+∠QAE=45°,ACAD=√2,
∵△APQ為等腰直角三角形,
∴∠QAP=45°,即∠PAC+∠QAE=45°,APAQ=√2,
∴∠PAC=∠QAD,ACAD=APAQ,
∴△ACP∽△ADQ;
(2)解:由題意設正方形ABCD的邊長為2a,則PB=PC=a,
∴AP=√AB2+PB2=√(2a)2+a2=√5a,AC=2 √2a,
∵∠APE=∠ACP=45°,∠PAE=∠CAP,
∴△APE∽△ACP,
∴PEPC=APAC=AEAP=√5a2√2a=√104,
∴AE=5√24a,PE=√104a,
∴EC=AC-AE=3√24a,
∵PQ=√22AP=√102a,
∴QE=PQ-PE=√104a,
∴PE=QE=√104a,
∴CEAE=3√24a5√24a=35,PEQE=1.
(3)解:由(2)可知,n=2時,PE=EQ.
故答案為2.
(4)解:連接AC、DQ、BQ、作QM⊥AB于M,QN⊥BC于N.
由(1)可知△ADQ∽△ACP,
∴∠ADQ=∠ACP=45°,
∴DQ平分∠ADC,
∵∠QMB=∠MBN=∠QNB=90°,
∴四邊形MBNQ是矩形,
∵∠MQN=∠AQP=90°,
∴∠AQM=∠PQN,∵∠AMQ=∠QNP=90°,AQ=PQ,
∴△AQM≌△PQN,
∴MQ=QN,AM=PN,
∴四邊形MBNQ是正方形,
∴BQ平分∠ABC,BM=BN,
∴B、Q、D共線,設PB=a,AM=PN=m,則AB=BC=na,
∴a+m=an-m,
∴m=n−12a,
∴BM=BN=n+12a,BQ=√2BN=√22(n+1)a,
∵BD=√2na,
∴DQ=BD-BQ=√2na-√22(n+1)a=√22(n-1)a,
∵DF∥PB,
∴DFPB=DQBQ,
∴DFa=√22(n−1)a√22(n+1)a,
∴DF=n−1n+1a,
∴AF=AD-DF=na-n−1n+1a=n2+1n+1a,
∴DFAF=n−1n+1an2+1n+1a=n−1n2+1.
故答案為n−1n2+1.
點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、正方形的性質和判定、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,學會利用參數(shù),探究線段之間的關系,屬于中考壓軸題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | x2+130x-1400=0 | B. | x2+65x-350=0 | C. | x2-130x-1400=0 | D. | x2-65x-350=0 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (x-2)2=1 | B. | (x-2)2=4 | C. | (x-2)2=3 | D. | (x-2)2=5 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | x(5-32x)=6 | B. | x(5-x)=6 | C. | x(10-32x)=6 | D. | x(10-3x)=6 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (x+2)2+(x-4)2=x2 | B. | (x+2)2+(x+4)2=x2 | C. | (x-2)2+(x-4)2=x2 | D. | (x-2)2+(x+4)2=x2 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | y=4(x+2)2+3 | B. | y=4(x-2)2+3 | C. | y=4(x+3)2+2 | D. | y=4(x-3)2+2 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | OA=OD,OB=OC | B. | ∠B=∠C,OB=OC | C. | ∠B=∠C,OA=OD | D. | ∠C=∠B,∠A=∠D |
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