Question

如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD=5，tan，E為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥DC交射線BC于點(diǎn)F，連接EC，設(shè)BE=x，=y．

（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）連接DF，若△BDF與△BDA相似，試求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)A作AH⊥BD于H，再根據(jù)AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根據(jù)tan∠ABD=tan，計(jì)算出BH=DH=4，進(jìn)而得到BD=8；
（2）首先利用平行線的性質(zhì)得出==，進(jìn)而得出△FEB∽△CDB，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分別根據(jù)當(dāng)∠BFD=∠A時(shí)，當(dāng)∠BFD=∠ABD時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)求出BF的長(zhǎng)即可．
解答：解：（1）如圖1，過(guò)A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD=tan，
∴cos∠ABD==，
∴BH=DH=4，
∴BD=8；

（2）∵EF∥DC，
∴==，
∵△EFC與△EFB同高，
∴==，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
∴=（）²=（）²=，
∴y==•=•=-+x（0＜x＜8）；

（3）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵△BDF與△BDA相似，
①如圖2，當(dāng)∠BFD=∠A時(shí)，
則∠ABD=∠FDB，
故AB∥DF，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴BF=AD=5，
②如圖3，當(dāng)∠BFD=∠ABD時(shí)，
∵∠ADB=∠DBC，∠BFD=∠ABD，
∴△ABD∽△DFB，
∴=，
∵∠ABD=∠ADB，∠BFD=∠ABD，
∴∠DBC=∠BFD，
∴DB=DF=8，
∴=，
∴BF=，
綜上所述：當(dāng)△BDF與△BDA相似時(shí)，BF的長(zhǎng)為5或．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論得出是解題關(guān)鍵，注意不要漏解．